关于$f:\mathbb{R^2} \to\mathbb{R}$的变量独立性与恒定性证明问询

嘿，我来帮你搞定这两个多元函数的证明题，尤其是你卡壳的第一部分！先把问题明确下来：

待证问题 #

已知函数 $f:\mathbb{R^2} \to\mathbb{R}$，需要完成两项证明：

1. 若对所有 $(x,y)\in \mathbb{R^2}$ 都有 $\frac{\partial f}{\partial y}=0$，证明 $f$ 与第二个变量无关；
2. 若对所有 $(x,y) \in\mathbb{R^2}$ 都有 $\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial y}=0$，证明 $f$ 是常数。

你已经想到第一部分需要证明对任意 $y_1,y_2 \in\mathbb{R}$，有 $f(x,y_1)=f(x,y_2)$，这个方向完全正确，接下来给你具体的操作步骤提示：

第一部分证明提示 #

• 先固定任意一个实数 $x_0$，把 $f(x_0, y)$ 看作只关于 $y$ 的单变量函数，记为 $g(y) = f(x_0, y)$；
• 根据偏导数的定义，$g'(y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y)$，而题目里说这个偏导数恒为0，所以 $g'(y)=0$ 对所有 $y\in\mathbb{R}$ 都成立；
• 回忆单变量微积分里的核心结论：如果一个单变量函数在整个实数域上导数恒为0，那么这个函数是常数函数（你也可以用拉格朗日中值定理来严格推导这一点：对任意 $y_1,y_2$，存在 $\xi$ 在 $y_1$ 和 $y_2$ 之间，使得 $g(y_2)-g(y_1)=g'(\xi)(y_2-y_1)=0$，所以 $g(y_1)=g(y_2)$）；
• 既然 $g(y_1)=g(y_2)$，也就是 $f(x_0,y_1)=f(x_0,y_2)$，而 $x_0$ 是任意选取的，这就说明对所有的 $x$，$f(x,y)$ 的值都不随 $y$ 变化，即 $f$ 与第二个变量无关。

第二部分证明思路 #

• 直接复用第一部分的结论：因为 $\frac{\partial f}{\partial y}=0$，所以 $f(x,y)$ 可以写成只关于 $x$ 的函数，即 $f(x,y)=h(x)$；
• 题目里还给出 $\frac{\partial f}{\partial x}=0$，而 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 其实就是 $h'(x)$，所以 $h'(x)=0$ 对所有 $x\in\mathbb{R}$ 成立；
• 再用一次单变量函数的结论：导数恒为0的单变量函数是常数，所以 $h(x)$ 是常数，也就意味着 $f(x,y)$ 是常数函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paarth