300球概率问题：二次抽取恰好获得10个黑球的概率求解

嘿，这个问题其实是超几何分布的经典应用场景，我给你一步步拆解清楚：

第一步操作后的盒子状态 #

原本盒子里全是300个白球，第一步随机抽取100个白球涂成黑色后放回，所以此时盒子里的球组成是固定的：

• 黑球：100个
• 白球：200个
  总球数仍为300个。

第二步抽取的概率逻辑 #

第二步是从这300个球中不放回地抽取100个球，求恰好抽到10个黑球的概率，这完美匹配超几何分布的适用条件：

• 总体数量有限（N=300）
• 总体明确分为两类（黑球K=100，白球N-K=200）
• 采用不放回抽样方式抽取n个样本（n=100）
• 求恰好抽到k个目标类别（黑球k=10）的概率

超几何分布计算公式 #

概率的具体表达式为：

P(X=k) = [C(K, k) × C(N-K, n-k)] / C(N, n)

其中C(a, b)表示从a个元素中选取b个的组合数，计算规则是 C(a,b) = a!/(b! × (a-b)!)

把题目中的参数代入公式：

• N=300（总球数）
• K=100（盒子里的黑球总数）
• n=100（第二步抽取的球数）
• k=10（想要抽到的黑球数）

最终的概率表达式为：

P(X=10) = [C(100, 10) × C(200, 90)] / C(300, 100)

数值计算方法 #

由于组合数的数值极大，手动计算几乎不可能，你可以借助统计工具或编程语言来获取具体数值：

• 使用R语言：运行dhyper(10, m=100, n=200, k=100)
• 使用Python（需要scipy库）：

  from scipy.stats import hypergeom
  probability = hypergeom.pmf(k=10, M=300, n=100, N=100)
  print(probability)
  

需要注意的是，这个概率值非常小（接近0），毕竟从含有100个黑球的300个球里抽100个，只抽到10个黑球的概率确实极低。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Κωνσταντίνος Κορναράκης