平凡K-理论是否蕴含遗传角的平凡K-理论？

算力阿峰

2026-5-19

问题解答：平凡K-理论C*-代数的遗传投影子代数是否也有平凡K-理论？

答案是否，存在非单的C*-代数 ( A ) 满足 ( K_0(A)=K_1(A)=0 )，但其中某个投影 ( p ) 对应的遗传子代数 ( pAp ) 具有非平凡K-理论。下面是具体的反例构造：

反例构造步骤

基础代数选择
- 取 ( K(H) ) 为可分希尔伯特空间 ( H ) 上的紧算子代数，它的K群为 ( K_0(K(H))=\mathbb{Z} )，( K_1(K(H))=0 )。
- 取 ( \Sigma K(H) ) 为 ( K(H) ) 的悬置代数（即所有从 ( [0,1] ) 到 ( K(H) ) 的连续函数，满足 ( f(0)=f(1)=0 )），它的K群由悬置性质可得：( K_0(\Sigma K(H))=K_1(K(H))=0 )，( K_1(\Sigma K(H))=K_0(K(H))=\mathbb{Z} )。
构造扩展代数 ( A )
考虑短正合列：
[ 0 \to K(H) \to A \to \Sigma K(H) \to 0 ]
根据Brown-Douglas-Fillmore（BDF）分类理论，我们可以选择这个扩展使得边界映射 ( \delta': K_1(\Sigma K(H)) \to K_0(K(H)) ) 是群同构（即把 ( \mathbb{Z} ) 中的元素 ( n ) 映射到 ( n )）。
验证 ( A ) 的K群平凡
利用K-理论的正合序列：
[ \mathbb{Z} \to K_0(A) \to 0 \to 0 \to K_1(A) \to \mathbb{Z} \to^{\delta'} \mathbb{Z} \to \dots ]
- 由正合性，( \text{Im}(K_1(A) \to \mathbb{Z}) = \text{Ker}(\delta') = 0 )，因此 ( K_1(A) \to \mathbb{Z} ) 是零映射，进而 ( K_1(A)=0 )。
- 同时，( \text{Im}(\delta') = \mathbb{Z} = \text{Ker}(\mathbb{Z} \to K_0(A)) )，因此 ( \mathbb{Z} \to K_0(A) ) 是零映射，进而 ( K_0(A)=0 )。
找到非平凡的遗传子代数
取 ( p ) 为 ( K(H) ) 中的任意非零投影（比如秩1投影），则 ( pAp = pK(H)p )。由于 ( pK(H)p \cong K(pH) )（而 ( pH ) 是可分希尔伯特空间，与 ( H ) 同构），因此 ( pAp \cong K(H) )，其K群为 ( K_0(pAp)=\mathbb{Z} \neq 0 )，( K_1(pAp)=0 )，显然非平凡。