技术问询：求证x,y∈ℝ且x<y∧x≥1时x²<y²及证明思路

一开始我寻思着这个命题的证明是不是得用归纳法，但转念一想，这里的变量都是实数，不是自然数啊，瞬间就卡壳了——明明结论感觉特别符合直觉，可就是找不到下手的方向。

编辑：完整证明（采纳@ThomasGrubb的建议） #

已知 ( r > x )，那必然存在一个正实数 ( y \in \mathbb{R} )，使得 ( r = x + y )（毕竟 ( r - x > 0 )）。

把要证的 ( r^2 > x^2 ) 替换成 ( (x + y)^2 > x^2 )，展开左边后：
( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 )

所以原不等式等价于 ( x^2 + 2xy + y^2 > x^2 )，两边消去 ( x^2 ) 后得到 ( 2xy + y^2 > 0 )。

因为 ( y > 0 )，显然这个不等式成立（注：这里默认命题的适用场景是 ( x, r ) 为非负实数，不然存在反例：比如 ( x=-3 )，( r=-2 )，此时 ( r > x ) 但 ( r^2=4 < 9=x^2 )），因此原命题得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zaya