周期函数定积分平移不变性证明首步疑问求助

算力阿峰

2026-5-19

证明周期函数在任意长度为周期的区间上积分相等

首先明确核心前提：因为$x(t)$是周期为$T$的函数，所以对任意实数$t$，都有$x(t + T) = x(t)$，这是整个推导的关键依据。

接下来我们一步步拆解你困惑的证明过程：

第一步：拆分积分区间（解决你卡壳的开头部分）

根据定积分的区间可加性，我们可以把积分$\int_a^{a+T}x(t)dt$拆分成三个连续子区间的积分之和（这样能直接关联你给出的提示）：
$$
\int_a^{a+T} x(t) dt = \int_a^0 x(t) dt + \int_0^T x(t) dt + \int_T^{a+T} x(t) dt
$$
你提到的“开头的$\int_a^{a+T}x(t)dt = \int_{a+T}...$部分”，其实是后续对$\int_T^{a+T}x(t)dt$做变量替换后的变形，我们继续往下看。

第二步：用变量替换处理跨周期的积分

对$\int_T^{a+T} x(t) dt$做变量替换：令$u = t - T$，那么$t = u + T$，当$t=T$时$u=0$，当$t=a+T$时$u=a$，同时$dt = du$。

结合周期函数的性质$x(t) = x(u + T) = x(u)$，代入后积分变为：
$$
\int_T^{a+T} x(t) dt = \int_0^a x(u) du = -\int_a^0 x(u) du
$$
（这里用到定积分的基本性质：$\int_b^c f(x)dx = -\int_c^b f(x)dx$）

第三步：结合提示完成证明

把第二步的结果代回第一步的拆分式：
$$
\int_a^{a+T} x(t) dt = \int_a^0 x(t) dt + \int_0^T x(t) dt + \left(-\int_a^0 x(t) dt\right)
$$
此时$\int_a^0 x(t) dt$和它的相反数直接抵消，剩下的就是我们要证明的结论：
$$
\int_a^{a+T} x(t) dt = \int_0^T x(t) dt
$$

而你给出的提示$\int_a^0 x(t) dt = \int_{a+T}^T x(t) dt$，其实是从变量替换步骤推导来的：
因为$\int_{a+T}^T x(t) dt = -\int_T^{a+T} x(t) dt = \int_a^0 x(t) dt$，正好对应提示内容。