求证：∀n∈ℕ且1<n时，(1+1/n)ⁿ<∑₀ⁿ1/i!（禁用微积分工具）

刚好我之前也琢磨过类似的问题，用教材提示的二项式定理完全能搞定，而且不用碰极限、e或者微积分，一步步来：

首先，根据二项式定理，左边的$(1 + 1/n)^n$可以展开成：
$$(1 + 1/n)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \left(\frac{1}{n}\right)^i$$

要证原不等式，其实就是要证明每一项$\binom{n}{i}(1/n)^i$都不大于$1/i!$，并且至少存在一项严格小于（毕竟n>1，肯定有这样的项）。

我们逐个分析每一项：

• 当$i=0$时：
  $\binom{n}{0}(1/n)^0 = 1$，而$1/0! = 1$，两者完全相等。

• 当$i=1$时：
  $\binom{n}{1}(1/n)^1 = n \cdot \frac{1}{n} = 1$，$1/1! = 1$，还是相等。

• 当$2 \leq i \leq n$时：
  先把组合数展开：$\binom{n}{i} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-i+1)}{i!}$，代入左边的项：
  $$\binom{n}{i}\left(\frac{1}{n}\right)^i = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-i+1)}{i! \cdot n^i}$$
  拆分成乘积形式：
  $$= \frac{1}{i!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \dots \cdot \frac{n-i+1}{n}$$
  简化后就是：
  $$= \frac{1}{i!} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \frac{i-1}{n}\right)$$

  因为$n>1$且$i\geq2$，所以每个$\left(1 - \frac{k}{n}\right)$（$k=1,2,\dots,i-1$）都是小于1的正数，它们的乘积自然也小于1。因此：
  $$\binom{n}{i}\left(\frac{1}{n}\right)^i < \frac{1}{i!}$$

现在把所有项加起来看：
$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\left(\frac{1}{n}\right)^i = 1 + 1 + \sum_{i=2}^n \binom{n}{i}\left(\frac{1}{n}\right)^i$$
而右边的和是：
$$\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} = 1 + 1 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{i!}$$

因为从$i=2$开始每一项都是左边严格小于右边，所以整个和必然满足：
$$(1 + 1/n)^n < \sum_{i=0}^n 1/i!$$

完美，这样就完成了证明，完全符合要求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IMK