求证组合恒等式：∑(-1)^i(a+2i)C(n,i)C(a+n+i,n+1)⁻¹=(n+1)δₐ,₀

你尝试用积分形式转化的思路完全正确，只是之前可能在组合数的积分表示上出现了小差错。下面我们基于Beta函数和积分交换顺序的方法，分情况完成证明：

首先回顾组合数的积分表示 #

对于任意非负整数$k$和非负实数$m$（$m$不是负整数），组合数的倒数可以用Beta函数表示为：
$$
\binom{m}{k}^{-1} = k \int_0^1 t^{m-k} (1-t)^{k-1} dt
$$
这个公式是你给出的整数情形的推广，验证起来也很简单：利用Beta函数$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$，代入后刚好匹配组合数倒数的表达式。

情况1：$a \neq 0$ #

我们的目标求和式为：
$$
S(n,a) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} (a+2i) \binom{n}{i} \binom{a+n+i}{n+1}^{-1}
$$

首先将$\binom{a+n+i}{n+1}^{-1}$用积分表示（令$m=a+n+i$，$k=n+1$）：
$$
\binom{a+n+i}{n+1}^{-1} = (n+1) \int_0^1 t^{(a+n+i)-(n+1)} (1-t)^{(n+1)-1} dt = (n+1)\int_0^1 t^{a+i-1}(1-t)n dt
$$

将其代入求和式，交换求和与积分的顺序（积分收敛，交换合法）：
$$
S(n,a) = (n+1) \int_0^1 t^{a-1}(1-t)n \sum_{i=0}^n (-1)^i (a+2i)\binom{n}{i}t^i dt
$$

计算内层的求和式，拆分为两部分：
$$
\sum_{i=0}^n (-1)^i (a+2i)\binom{n}{i}t^i = a\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-t)^i + 2\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}(-t)^i
$$

利用二项式定理和导数公式：

• $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-t)^i = (1-t)^n$
• $\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}(-t)^i = -nt(1-t)^{n-1}$（对二项式展开式求导后变形得到）

代入后化简内层求和式：
$$
a(1-t)^n + 2(-nt)(1-t)^{n-1} = (1-t)^{n-1}\left[a(1-t) - 2nt\right]
$$

将其代回$S(n,a)$，合并$(1-t)$的指数：
$$
S(n,a) = (n+1) \int_0^1 t^{a-1}(1-t){2n-1}\left[a(1-t) - 2nt\right] dt
$$

拆分积分并利用Beta函数表示：
$$
S(n,a) = (n+1)\left[ a \cdot B(a, 2n+1) - 2n \cdot B(a+1, 2n) \right]
$$

注意到$\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)$，$\Gamma(2n+1)=2n\Gamma(2n)$，代入Beta函数的表达式$\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$后，两项完全抵消：
$$
a \cdot \frac{\Gamma(a)\Gamma(2n+1)}{\Gamma(a+2n+1)} = 2n \cdot \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(2n)}{\Gamma(a+2n+1)}
$$

因此，当$a \neq 0$时，$S(n,a)=0$。

情况2：$a=0$ #

此时求和式中$i=0$的项为0（因为$a+2i=0$），只需考虑$i=1$到$n$：
$$
S(n,0) = 2\sum_{i=1}^n (-1)^i i\binom{n}{i}\binom{n+i}{n+1}^{-1}
$$

同样用积分表示$\binom{n+i}{n+1}^{-1}$：
$$
\binom{n+i}{n+1}^{-1} = (n+1)\int_0^1 t^{i-1}(1-t)n dt
$$

代入求和式并交换顺序：
$$
S(n,0) = 2(n+1) \int_0^1 (1-t)^n \sum_{i=1}^n (-1)^i i\binom{n}{i}t^{i-1} dt
$$

内层求和式是二项式展开式的导数：
$$
\sum_{i=1}^n (-1)^i i\binom{n}{i}t^{i-1} = \frac{d}{dt}\left[(1-t)^n - 1\right] = -n(1-t)^{n-1}
$$

代入后计算积分：
$$
S(n,0) = 2(n+1) \cdot (-n) \int_0^1 (1-t)^{2n-1} dt
$$

计算积分$\int_0^1 (1-t)^{2n-1}dt = \frac{1}{2n}$，最终得到：
$$
S(n,0) = 2(n+1)(-n) \cdot \frac{1}{2n} = -(n+1)
$$

（注：这里符号与题目给出的结果相反，推测可能是题目中求和项的符号应为$(-1)^{n-i}$，但核心推导逻辑一致，调整符号后即可得到题目中的$n+1$。）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leox