如何从伯努利定义的e推导e^x的极限表达式？

咱们从伯努利给出的e的经典定义开始，一步步推导出$e^x$的极限表达式，逻辑其实非常顺畅：

首先明确e的原始定义：
$$e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$$

第一步：利用指数运算性质转换形式 #

对于任意实数x，我们可以先把$e^x$写成e的x次幂：
$$e^x = \left(\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n\right)x$$

这里有个关键前提：当极限存在且结果为正实数时，极限的x次幂等于x次幂的极限。因为e是正实数，所以我们可以把指数x“移到”极限符号内部，得到：
$$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^{nx}$$

第二步：变量替换简化表达式 #

现在做一个变量替换，令$m = nx$，反过来就是$n = m/x$。需要注意：当$n \to \infty$时，只要x≠0，m也会趋于无穷大（如果x=0的话，$e^{0=1$，而右边$(1+0/n)}n=1$，等式显然成立，无需额外推导）。

把$n = m/x$代入到极限里的表达式：
$$(1 + 1/n)^{nx} = \left(1 + \frac{1}{m/x}\right)^m = \left(1 + \frac{x}{m}\right)^m$$

替换后，极限就变成了：
$$e^x = \lim_{m \to \infty} (1 + x/m)^m$$

第三步：变量名重标记（可选） #

变量的名称只是一个符号，我们完全可以把m重新换成n，这样就得到了最终的目标形式：
$$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + x/n)^n$$

小补充：如果x是负数，这个推导逻辑依然成立，只需要调整变量替换时的无穷大方向，但核心的极限运算性质和变量替换的合理性不受影响。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user535250