$\mathbb{R}^2$的2着色问询：是否仅存在常值单色路径？

嘿，这个问题挺有意思的！答案是肯定的——确实存在这样的2着色方案，能让ℝ²中仅有的单色路径是常值路径（也就是单点路径）。

核心思路与构造说明 #

要实现这个目标，我们需要把平面ℝ²划分为两个集合（对应两种颜色），使得任何非平凡的连续路径（即包含至少两个不同点的连续路径）都同时包含两种颜色的点。换句话说，没有任何一条非单点的连续路径能完全落在同一种颜色里。

具体来说，我们可以借助选择公理来构造这样的划分：

• 首先，考虑ℝ²中所有非平凡连续路径的集合$\mathcal{P}$，每个路径$p \in \mathcal{P}$是从$[0,1]$到ℝ²的连续映射，且满足$p(0) \neq p(1)$。
• 对每个路径$p$，我们可以选取两个不同的点$a_p \in p([0,1])$和$b_p \in p([0,1])$。
• 通过选择公理，我们可以系统地将这些点分配到两个颜色集合$A$和$B$中，确保每个路径$p$都有$a_p \in A$且$b_p \in B$。进一步扩展这个分配覆盖整个平面，最终得到的$A$和$B$就满足条件：任何非平凡路径都会同时与$A$和$B$相交，因此不存在非单色的非平凡路径。

需要注意的是，这种构造无法给出显式的表达式——它依赖选择公理来保证存在性，而我们没法写出具体的着色函数公式。

补充说明 #

这类集合可以理解为“渗透”到所有非平凡路径里的集合，它们的存在性验证了平面可以被划分成两个“无处不在”的部分，彻底打破了任何非单点连续路径的单色可能性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user120269