求用1至6各一次组成、相邻数字互质的6位正整数的个数

我来一步步帮你解决这个问题，核心思路是从限制最多的数字6入手分类讨论，因为6只能和1、5相邻，这样能大幅缩小需要考虑的范围。

首先先明确每个数字能相邻的允许列表（基于互质规则）：

• 1：可与2、3、4、5、6任意相邻（1和所有数互质）
• 2：仅能与1、3、5相邻（和4、6不互质）
• 3：可与1、2、4、5相邻（和6不互质）
• 4：仅能与1、3、5相邻（和2、6不互质）
• 5：可与1、2、3、4、6任意相邻（5是质数，和其他数的最大公约数都是1）
• 6：仅能与1、5相邻（和2、3、4都不互质）

接下来按数字6的位置分三大类计算：

此时第2位只能是1或5，分两个子情况：

子情况1.1：第2位是1 #

剩余数字：2、3、4、5，需填入第3-6位，按第3位的选择细分：

• 第3位是2：第4位只能是3/5（和2互质），每种选择对应2个有效序列，共4个
• 第3位是3：第4位可选2/4/5，但选5时剩余2和4无法形成互质相邻，仅2个有效序列
• 第3位是4：第4位只能是3/5（和4互质），每种选择对应2个有效序列，共4个
• 第3位是5：第4位可选2/3/4，但选3时剩余2和4无法形成互质相邻，仅2个有效序列
  子情况1.1总计：4+2+4+2=12个

子情况1.2：第2位是5 #

剩余数字：1、2、3、4，需填入第3-6位，按第3位的选择细分：

• 第3位是1：第4位选2/4时各对应1个有效序列，选3时无有效序列，共2个
• 第3位是2：第4位选1/3时各对应2个有效序列，共4个
• 第3位是3：第4位选2/4时各对应1个有效序列，选1时无有效序列，共2个
• 第3位是4：第4位选1/3时各对应2个有效序列，共4个
  子情况1.2总计：2+4+2+4=12个

情况1总计：12+12=24个

这和情况1完全对称——把情况1的所有有效序列倒过来，就是6在末位的有效序列，因此数量也是24个。

6在中间时，左右两侧必须是1和5（因为只能和这两个数互质，且数字不重复），分位置讨论：

子情况3.1：6在第2位或第5位（对称，数量相同） #

以6在第2位为例，左右只能是1-6-5或5-6-1：

• 1-6-5：剩余2、3、4填入后三位，仅2个有效序列
• 5-6-1：剩余2、3、4填入后三位，仅2个有效序列
  因此6在第2位共4个，第5位也为4个，总计8个

子情况3.2：6在第3位或第4位（对称，数量相同） #

以6在第3位为例，左右只能是X-1-6-5-Y或X-5-6-1-Y：

• X-1-6-5-Y：X可选2、3、4，选2/4时各对应2个有效序列，选3时无有效序列，共4个
• X-5-6-1-Y：X可选2、3、4，选2/4时各对应2个有效序列，选3时无有效序列，共4个
  因此6在第3位共8个，第4位也为8个，总计16个

情况3总计：8+16=24个

将三种情况相加：24+24+24=72个

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A Piercing Arrow