为何‘x是y的倍数’使次可加性非严格？三角不等式取等疑问

咱们一步一步拆解这个问题，你已经代入了$x = \lambda y$，其实差的就是范数的两个核心性质的结合——齐次性和绝对值的三角不等式。

首先回忆范数的次可加性（也就是三角不等式）：
$$|x + y| \leq |x| + |y|$$
严格次可加性是指左边严格小于右边，而当x是y的倍数时，在特定条件下等号会成立，这就变成了非严格的情况。

先把$x = \lambda y$代入两边：

• 左边：$|\lambda y + y| = |(\lambda + 1)y|$，根据范数的齐次性（$|k z| = |k| \cdot |z|$，k是实数），这可以拆成$|\lambda + 1| \cdot |y|$。
• 右边：$|x| + |y| = |\lambda y| + |y| = |\lambda| \cdot |y| + |y| = (|\lambda| + 1) \cdot |y|$。

现在问题转化为：什么时候$|\lambda + 1| = |\lambda| + 1$？
这是绝对值的基本性质——当$\lambda$是非负实数时，$\lambda$和1同号（都是非负），所以$|\lambda + 1| = \lambda + 1$，而$|\lambda| + 1 = \lambda + 1$，两边完全相等。

举个具体例子：
假设$\lambda=3$，x=3y，左边$|3y + y| = |4y|=4|y|$，右边$|3y| + |y|=3|y| + |y|=4|y|$，此时三角不等式取等号，次可加性就从严格的“小于”变成了“小于等于”的非严格情况。

如果$\lambda$是负数呢？比如$\lambda=-2$，x=-2y，左边$|-2y + y| = |-y|=|y|$，右边$|-2y| + |y|=2|y| + |y|=3|y|$，这时候左边还是严格小于右边，次可加性依然是严格的。

总结一下：只有当x是y的非负倍数（也就是x和y方向相同的倍数关系）时，三角不等式才会取等号，让次可加性从严格变为非严格。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mavavilj