单射函数下无穷交的像与像的无穷交相等的证明补全

我们要证明：若函数 $f:X\longrightarrow Y$ 是单射，$A_n$ 是 $X$ 的子集（$n\in\mathbb{N}$），则 $f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right)= \bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)}$。

第一步：证明 $f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right) \subseteq \bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)}$ #

你已经给出了这部分的开头，我们把它补全：

假设 $y\in f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right)$，则存在 $x\in\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}$ 使得 $y=f(x)$。根据交集的定义，对所有 $n\in\mathbb{N}$，$x\in A_n$。由于 $y=f(x)$，那么对每个 $n$，$y=f(x)\in f(A_n)$（因为 $x$ 在 $A_n$ 里，它的像自然在 $A_n$ 的像集里）。而 $y$ 属于所有 $f(A_n)$，根据交集的定义，$y\in\bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)}$。这就证明了左边包含于右边。

第二步：证明 $\bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)} \subseteq f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right)$ #

这一步必须用到 $f$ 是单射的核心条件——单射的定义是：若 $f(x_1)=f(x_2)$，则 $x_1=x_2$，也就是每个像最多对应一个原像。

假设 $y\in\bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)}$，根据交集的定义，对所有 $n\in\mathbb{N}$，$y\in f(A_n)$。也就是说，对每个 $n$，存在某个 $x_n\in A_n$ 使得 $f(x_n)=y$。

因为 $f$ 是单射，所有满足 $f(x)=y$ 的 $x$ 只能有一个，所以这里所有的 $x_n$ 其实都是同一个元素，我们记这个元素为 $x$，即 $x_n=x$ 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 成立。

既然 $x=x_n\in A_n$ 对所有 $n$ 成立，根据交集的定义，$x\in\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}$。而 $y=f(x)$，所以 $y\in f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right)$。这就证明了右边包含于左边。

结论 #

因为我们已经证明了双向包含关系，所以 $f\left(\bigcap^\infty_{n=1}{A_n}\right)= \bigcap^\infty_{n=1}{f(A_n)}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Luis Robles