群G的换位子群G'的可解根在G中是否正规？

嘿，这个问题问得很到位，我来一步步给你拆解清楚：

一、先搞懂“换位子群的根” #

首先得明确，这里的“根”指的是可解根——群论里，一个群H的可解根R(H)是H中最大的可解正规子群，它是H中所有可解正规子群的乘积，而且是H的特征子群（意思是H的任何自同构都不会把它映射到其他子群上）。

那“换位子群的根”，就是群G的换位子群G'的可解根，也就是R(G')——它是G'内部最大的那个可解正规子群。

二、核心问题：G'的可解根在G中是否正规？ #

答案是肯定的，下面给你理清楚证明逻辑：

• 首先，G'本身是G的正规子群（这是换位子群的基本性质：所有换位子的生成群在G中正规），而且G'还是G的特征子群（任何自同构作用在G上，都会把换位子映射成换位子，所以G'在自同构下不变）。
• 刚才说了，R(G')是G'的特征子群——也就是说，对于G'的任何自同构φ，φ(R(G'))=R(G')。
• 现在看G的任意内自同构φ_g（由g∈G诱导的自同构：φ_g(x)=gxg⁻¹），因为G'在G中正规，所以φ_g限制在G'上时，φ_g(G')=G'，这相当于φ_g在G'上定义了一个自同构。
• 既然R(G')是G'的特征子群，那φ_g(R(G'))=R(G')，也就是对任意g∈G，gxg⁻¹∈R(G')对所有x∈R(G')成立——这就直接说明R(G')在G中是正规的。

举两个例子验证一下： #

• 取G=S₅（5次对称群），它的换位子群G'=A₅（5次交错群），而A₅是不可解的单群，所以它的可解根R(G')就是平凡子群{e}，显然{e}在S₅中是正规的。
• 再取一个可解群G，比如G=S₃，G'是A₃（3阶循环群，可解），所以R(G')=G'本身，而G'在G中是正规的，符合结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ronald