证明f>>1/T时正弦与余弦信号的近似正交性

咱们先明确要处理的问题：有两个定义在区间 $t \in [0, T)$ 上的信号：
$$s_1(t) = \sin(2\pi ft)$$
$$s_2(t) = \cos(2\pi ft)$$
需要证明当 $f >> 1/T$（也就是信号频率远高于区间长度的倒数）时，$s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 近似正交。

第一步：回忆正交性的核心要求 #

两个信号正交的关键是它们的内积等于0，用公式表示就是：
$$\langle s_1, s_2 \rangle = \int_0^T s_1(t)s_2(t)dt = 0$$
咱们的目标就是证明当 $f$ 足够大时，这个内积的结果趋近于0。

第二步：展开内积的积分表达式 #

把两个信号代入内积公式，得到需要计算的积分：
$$\int_0^T s_1(t)s_2(t)dt = \int_0^T \sin(2\pi ft)\cos(2\pi ft)dt$$

第三步：用三角恒等式化简被积函数 #

利用三角函数的乘积恒等式：$\sin A \cos A = \frac{1}{2}\sin(2A)$，这里 $A = 2\pi ft$，所以：
$$\sin(2\pi ft)\cos(2\pi ft) = \frac{1}{2}\sin(4\pi ft)$$
代入积分后，式子简化为：
$$\int_0^T \frac{1}{2}\sin(4\pi ft)dt = \frac{1}{2} \int_0^T \sin(4\pi ft)dt$$

第四步：计算积分并分析高频条件下的结果 #

计算这个定积分：
$$\frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(4\pi ft)}{4\pi f} \right]_0^T = \frac{1}{8\pi f} \left[ 1 - \cos(4\pi fT) \right]$$

现在看条件 $f >> 1/T$，这意味着 $4\pi fT$ 是一个非常大的数值。$\cos(4\pi fT)$ 的取值范围始终在 $[-1, 1]$ 之间振荡，但因为分母是 $8\pi f$——当 $f$ 极大时，分母会变得非常大，不管分子 $1 - \cos(4\pi fT)$ 取什么值（最大为2），整个表达式的结果都会趋近于0。

这就说明，当 $f >> 1/T$ 时，$s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的内积近似为0，满足正交性的核心要求，所以两个信号近似正交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kristoffer Jerzy Linder