求证：若矩阵AA可逆则A可逆，并验证相关证明思路的正确性

你的证明完全正确，推导过程逻辑严谨，一点都不武断！下面帮你拆解每一步的合理性：

• 第一步推导：从方程$A\vec{x}=\vec{0}$出发，两边左乘$A$得到$AA\vec{x}=A\vec{0}=\vec{0}$，这是矩阵乘法的基本运算规则，没有任何问题。
• 第二步推导：因为$AA$可逆，根据可逆矩阵定理，可逆矩阵的零空间仅包含零向量（即$\text{Nul}(AA)={\vec{0}}$），所以此时$\vec{x}$必须是$\vec{0}$——这一步是零空间定义的直接结论，绝非武断：如果$AA\vec{x}=\vec{0}$且$\text{Nul}(AA)$里只有零向量，那$\vec{x}$只能是零向量，不存在其他解。
• 第三步推导：由$A\vec{x}=\vec{0}$只有零解，结合$A$是方阵的前提（这里隐含的逻辑是：$AA$可逆意味着$AA$是方阵，因此$A$必然是方阵），你可以直接用可逆矩阵定理的等价条件：方阵$A$可逆当且仅当$A\vec{x}=\vec{0}$只有零解，直接得出$A$可逆。当然你用秩定理推导$\text{rank}(A)=n$再得出可逆的结论，也是完全正确的——秩定理指出$\text{rank}(A) + \text{dim Nul}(A) = n$，而$\text{dim Nul}(A)=0$（只有零解），所以$\text{rank}(A)=n$，满足方阵可逆的充要条件。

另外补充一个可选的证明思路供你参考：利用行列式性质，$\det(AA)=\det(A)\det(A)=[\det(A)]^{2$，若$AA$可逆则$\det(AA)\neq0$，因此$[\det(A)]}2\neq0$，进而$\det(A)\neq0$，所以$A$可逆。不过你的原证明已经是线性代数课程里非常标准的严谨推导了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skrrrrrtttt