$\sec(x+y) =\frac{\cos(x+y)} {\cos^2 x}$是否为三角恒等式？若成立如何证明？

先直接给结论：这个等式不是三角恒等式——它只在特定的x和y取值下成立，而非对所有使得两边有定义的实数x、y都成立。

用反例直接验证 #

最简单的方式就是代入一组具体数值，看看两边是否相等：

• 取$x=0$，$y=\frac{\pi}{3}$：
  • 左边：$\sec(0+\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) = 2$
  • 右边：$\frac{\cos(0+\frac{\pi}{3})}{\cos^2 0} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$
    左右两边数值明显不等，这就足以证明它不是对所有情况都成立的恒等式。

额外延伸：等式成立的条件 #

如果想探究这个等式在什么情况下成立，可以从原等式推导：
因为$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$，原等式等价于：
$$\frac{1}{\cos(x+y)} = \frac{\cos(x+y)}{\cos^2 x}$$
在$\cos(x+y) \neq 0$且$\cos x \neq 0$的前提下，两边同时乘以$\cos(x+y)\cos^2 x$，得到：
$$\cos^2 x = \cos^2(x+y)$$
利用三角恒等式$\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$，代入化简：
$$\cos^2 x - \cos^2(x+y) = 0 \implies -\sin(2x+y)\sin(-y) = 0$$
进一步整理得：
$$\sin(2x + y)\sin y = 0$$
所以等式成立的条件是：

• $\sin y = 0$，即$y = k\pi$（$k$为整数）；
• 或者$\sin(2x + y) = 0$，即$2x + y = k\pi$（$k$为整数）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hammound Blazek