如何理解复数k次根分支与全纯函数分支的相关原理？

咱们先从映射$z \to z^k$聊起：这个映射的导数在$z=0$处为0，但根据反函数定理，它在所有$z \neq 0$的点上都是局部可逆的。

具体来说：

• 对于任意非零的$w_0$，只要存在$z_0$满足$z_0^k = w_0$，就能在$w_0$的某个邻域内定义一个全纯函数$f_{z_0}^{{-1}$——这个函数就是$z}k$的局部逆，本质上就是k次根的一个分支。

接下来咱们专门针对$z_0=1$的情况，来确定邻域内$z=w^{\frac{1}{k}}$的一个分支：

我们可以取$w_0=1$（毕竟$1^k=1$），选择$w$的邻域为不包含负实轴的单位圆盘邻域（或者说去掉负实轴的复平面的一个小邻域）。在这个邻域里，我们用辐角来定义分支：对于$w = re^{i\theta}$（其中$\theta \in (-\pi, \pi)$），定义$w^{\frac{1}{k}} = r^{{\frac{1}{k}}e}{i\frac{\theta}{k}}$。这个函数在邻域内是全纯的，既满足$(w^{{\frac{1}{k}})}k = w$，又能在$w=1$时取到值1，正好对应$z_0=1$的局部逆。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheWanderer