关于Picard群正合序列及射影空间Picard群证明的技术咨询

我们分两部分来解决这个问题：首先验证给定的正合序列，再利用该结论通过归纳法推导射影空间的Picard群结构。

一、证明序列$\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)\to 0$正合 #

先明确各映射的定义：

• $\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)$：将整数$k$映射到素除子$Z$的线性等价类的$k$倍，即$k\mapsto k[Z]$；
• $\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)$：限制映射，把$X$上的Cartier除子（或线丛）限制到开子集$U=X\setminus Z$上，取其线性等价类（或线丛同构类）。

正合性需要验证三个条件：

1. 限制映射$\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)$是满射 #

因为$X$是光滑概形（故正规），$U$是$X$去掉一个余维1的光滑子概形$Z$。对于$U$上的任意Cartier除子$D'$：

• 由于$X$光滑，Cartier除子与Weil除子等价，$D'$对应$U$上的一个Weil除子，其支撑是$U$内余维1的不可约子概形——这些子概形同时也是$X$内的余维1不可约子概形；
• 直接将$D'$的Weil除子表达式延拓到$X$上（无需添加$Z$的项），得到$X$上的Weil除子$D$，其限制到$U$就是$D'$；
• 对应到线丛的语言：$U$上的线丛$L'$可延拓为$X$上的线丛$L$，使得$L|_U\cong L'$。

因此限制映射是满射，满足$\text{im}(\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)) = \text{Pic}(U)$。

2. $\text{im}(\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)) \subseteq \ker(\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U))$ #

对于任意整数$k$，$k[Z]$限制到$U$上的等价类是$0$：

• $Z$是$X$的素除子，在$U$中为空集，故$Z$作为$X$上的除子，限制到$U$是零除子；
• 对应线丛$\mathcal{O}_X(kZ)$，其在$U$上的截面都是正则函数（因为$U$中没有$Z$的零点/极点），故$\mathcal{O}_X(kZ)|_U\cong \mathcal{O}_U$，即其在$\text{Pic}(U)$中的像为$0$。

因此第一个映射的像完全包含在第二个映射的核中。

3. $\ker(\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)) \subseteq \text{im}(\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X))$ #

设$[D]\in \ker(\text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U))$，即$D|_U$线性等价于$0$，则存在$U$上的有理函数$f$，使得$\text{div}_U(f)=D|_U$。

• 由于$X$是整概形，$U$是开稠密子集，$f$可延拓为$X$上的有理函数；
• 考虑$\text{div}_X(f)$，它在$U$上的限制就是$\text{div}_U(f)=D|_U$，因此$D - \text{div}_X(f)$是$X$上的除子，其支撑仅包含$Z$；
• 因为$X$光滑，支撑在$Z$上的除子只能是$Z$的整数倍，即$D - \text{div}_X(f)=kZ$（$k\in\Bbb{Z}$），这意味着$D\sim kZ$，即$[D]=k[Z]$，属于第一个映射的像。

综上，序列$\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)\to 0$正合。

二、证明$\text{Pic}(\Bbb{P}^n)=\Bbb{Z}$ #

我们用数学归纳法来证明：

基例：$n=1$ #

$\Bbb{P}^{1$的Picard群是$\Bbb{Z}$，这是经典结论：$\Bbb{P}}1$上的线丛都同构于$\mathcal{O}_{\Bbb{P}^{1}(k)$（$k\in\Bbb{Z}$），不同的$k$对应不同的同构类，故$\text{Pic}(\Bbb{P}}1)\cong\Bbb{Z}$。

归纳假设 #

假设对于$\Bbb{P}^{{n-1}$，有$\text{Pic}(\Bbb{P}}{n-1})\cong\Bbb{Z}$。

归纳步骤：$n\geq2$ #

取$\Bbb{P}^{n$中的超平面$H$（比如$H=V(x_0)$，即齐次坐标$x_0=0$的超平面，是$\Bbb{P}}n$中的素除子），令$U=\Bbb{P}^n\setminus H$，则$U\cong\Bbb{A}^n$（仿射$n$维空间）。

第一步：$\text{Pic}(U)=0$

仿射空间$\Bbb{A}^n$的坐标环是$k[x_1,\dots,x_n]$，这是唯一分解整环（UFD）。对于正规概形，Picard群同构于Weil除子群模主除子群：

• $\Bbb{A}^n$中的Weil除子是不可约超曲面的整数线性组合；
• 由于$k[x_1,\dots,x_n]$是UFD，每个不可约超曲面都是某个不可约多项式的零点集，对应主除子，因此所有Weil除子都线性等价于0，故$\text{Pic}(\Bbb{A}^n)=0$。

第二步：利用正合序列推导$\text{Pic}(\Bbb{P}^n)$

根据第一部分的正合序列：
$$\Bbb{Z}\to \text{Pic}(\Bbb{P}^n)\to \text{Pic}(U)\to 0$$
代入$\text{Pic}(U)=0$，序列简化为$\Bbb{Z}\to \text{Pic}(\Bbb{P}^n)\to 0$，即映射$k\mapsto k[H]$是满射。

接下来验证该映射是单射：若$k[H]=0$，则$kH$是主除子，即存在$\Bbb{P}^n$上的有理函数$f$，使得$\text{div}(f)=kH$。

• $\Bbb{P}^n$上的有理函数是同次数齐次多项式的商：$f=\frac{F}{G}$，其中$F,G$是$d$次齐次多项式；
• $\text{div}(f)=\text{div}(F)-\text{div}(G)$，其“次数”（即所有除子系数之和乘以对应超平面的次数）为$d-d=0$；
• 而$kH$的次数为$k\cdot1=k$，若$k\neq0$，则次数不为0，与$\text{div}(f)$的次数为0矛盾，故$k=0$。

因此映射$k\mapsto k[H]$是单射且满射，即$\text{Pic}(\Bbb{P}^n)\cong\Bbb{Z}$。

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