给定奶牛一周内康复，求其接受过治疗注射的条件概率

这是个典型的贝叶斯概率应用场景，咱们一步步拆解计算：

先明确事件定义 #

• 设 事件A：奶牛接受过注射治疗
• 设 事件B：奶牛在一周内康复

我们需要求的是 在奶牛已康复的前提下，它接受过治疗的概率，也就是数学上的 P(A|B)。

回忆贝叶斯定理公式 #

贝叶斯定理的核心公式是：

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

其中：

• P(B|A)：接受治疗的奶牛康复的概率（已知条件）
• P(A)：奶牛接受过治疗的概率（已知比例）
• P(B)：任意奶牛一周内康复的总概率（需要用全概率公式计算）

代入已知条件计算各部分概率 #

1. 基础比例概率：
   • P(A)：农场70%奶牛接受过治疗，即 0.7
   • P(¬A)（未接受治疗的概率）：1 - 0.7 = 0.3
2. 条件康复概率：
   • P(B|A)：接受治疗的奶牛康复概率是 1/5 = 0.2
   • P(B|¬A)：未接受治疗的奶牛康复概率是 1/20 = 0.05
3. 计算全概率P(B)：
   用全概率公式，任意奶牛康复的概率等于「接受治疗且康复」加「未接受治疗且康复」的概率：

   P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|¬A)*P(¬A)
   

   代入数值：

   P(B) = (0.2 * 0.7) + (0.05 * 0.3) = 0.14 + 0.015 = 0.155
   

最终计算目标概率 #

把数值代入贝叶斯公式：

P(A|B) = (0.2 * 0.7) / 0.155 = 0.14 / 0.155 = 28/31 ≈ 0.9032

也就是说，这头康复的奶牛接受过注射治疗的概率约为 90.3%（或者精确值28/31）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QuestionAnswer13