单位向量$i, j, k$能否作为群元素？相关直觉判断是否正确？

嘿，这个问题提得很到位，咱们从群的基本定义出发，一步步理清：

一、$i,j,k$能不能成为群的元素？ #

首先得明确：群是「集合」+「满足特定规则的二元运算」的组合，单独说某个元素能不能成为群元素，其实是要看它所属的集合和搭配的运算是否符合群的四大公理：封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。

针对$i,j,k$这三个单位向量：

• 如果选向量加法作为运算：${i,j,k}$这个集合不满足封闭性（比如$i+j$是一个不在集合内的新向量），所以没法构成群；但如果把集合扩大到所有三维实向量，加法下是一个阿贝尔群，这时候$i,j,k$都是这个群里的元素。
• 如果选叉乘作为运算：叉乘虽然能让$i×j=k$、$j×k=i$、$k×i=j$，但它不满足结合律（比如$(i×j)×k ≠ i×(j×k)$），而且不存在单位元（没有向量$e$能让$e×v=v$对所有$v$成立），所以也没法构成群。
• 如果选点乘作为运算：更不行，因为点乘的结果是标量（比如$i·j=0$），不属于向量集合，直接违反封闭性。

所以单独的${i,j,k}$集合，不管搭配哪种常见的向量运算，都没法构成群；但它们可以作为更大的群（比如三维实向量加法群）里的元素。

二、你的直觉结论对，但论证逻辑有问题 #

你提到「根据群的消去律，$i·j=i·k$但$j≠k$，违反消去律」，这里的问题在于：

• 消去律是群运算的衍生性质，只有当某个二元运算已经是群运算时，消去律才成立。而点乘根本不是向量集合上的群运算（因为结果不在集合内，不满足封闭性），所以用消去律来论证是不合适的。
• 不过你的结论是对的：${i,j,k}$确实没法构成群，但核心原因是找不到一种满足群公理的二元运算，而不是点乘违反消去律。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gete