能否用π(x)的渐近公式证明素数乘积的两类不等式不成立？

嘿，这个问题其实可以通过转化为Chebyshev θ函数的渐近行为来解决，我来一步步给你理清楚：

首先，素数乘积$\prod_{p \leq x} p$的对数就是Chebyshev θ函数，定义为$\theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p$。所以原问题里的两个不等式完全等价于：

• $\theta(x) > (1+\epsilon)x$ 对所有充分大的$x$不成立
• $\theta(x) < (1-\epsilon)x$ 对所有充分大的$x$不成立

换句话说，我们只需要证明$\theta(x) \sim x$——也就是当$x$趋向无穷时，$\frac{\theta(x)}{x}$的极限是1。因为如果这个极限是1，那对任意固定的$\epsilon>0$，只要$x$足够大，$\frac{\theta(x)}{x}$就会落在$(1-\epsilon, 1+\epsilon)$之间，自然不可能一直大于$1+\epsilon$或者一直小于$1-\epsilon$。

能不能用你给出的$\pi(x)$渐近式来证明？ #

你提到的$\pi(x) = \frac{x}{\log x} + O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right)$是素数定理的一个带余项的版本，其实可以通过分部积分把$\pi(x)$和$\theta(x)$联系起来，进而推出$\theta(x) \sim x$，虽然这个推导只能得到$\theta(x) = x + O\left(\frac{x}{\log x}\right)$，但已经足够说明$\frac{\theta(x)}{x} \to 1$，从而否定原问题中的两个不等式。

具体推导过程是这样的：

利用分部积分公式，θ函数可以写成积分形式：
$$
\theta(x) = \int_{2}^x \log t , d\pi(t)
$$
展开分部积分后得到：
$$
\theta(x) = \pi(x)\log x - \int_{2}^x \frac{\pi(t)}{t} dt
$$

现在把$\pi(t) = \frac{t}{\log t} + O\left(\frac{t}{\log^2 t}\right)$代入进去：

1. 第一项计算：$\pi(x)\log x = \left(\frac{x}{\log x} + O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right)\right)\log x = x + O\left(\frac{x}{\log x}\right)$
2. 第二项积分拆分：$\int_{2}^x \frac{\pi(t)}{t} dt = \int_{2}^x \left(\frac{1}{\log t} + O\left(\frac{1}{\log^2 t}\right)\right) dt$
   • 其中$\int_{2}^x \frac{1}{\log t} dt$是对数积分$\text{li}(x)$，它的渐近展开是$\frac{x}{\log x} + \frac{x}{\log^2 x} + O\left(\frac{x}{\log^3 x}\right)$
   • 而$\int_{2}^x O\left(\frac{1}{\log^2 t}\right) dt = O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right)$（通过积分估计就能得到这个结果）

把这些结果代回θ函数的表达式，化简后得到：
$$
\theta(x) = x + O\left(\frac{x}{\log x}\right)
$$

这说明$\frac{\theta(x)}{x} = 1 + O\left(\frac{1}{\log x}\right)$，当$x$趋向无穷时，$\frac{1}{\log x}$会趋近于0，所以$\frac{\theta(x)}{x} \to 1$。这样一来，对任意$\epsilon>0$，总能找到一个足够大的$X$，当$x>X$时，$1-\epsilon < \frac{\theta(x)}{x} < 1+\epsilon$，也就是$(1-\epsilon)x < \theta(x) < (1+\epsilon)x$，直接就否定了原问题中两个“对所有充分大x成立”的不等式。

不依赖素数定理的更基础推导 #

如果不想直接用素数定理的余项结果，我们可以结合Chebyshev的经典估计和反证法来推导：

Chebyshev早就证明了两个关键结论：

1. 存在常数$c_1>0$，使得$\theta(x) > c_1 x$对所有充分大的$x$成立
2. 存在常数$c_2>0$，使得$\theta(x) < c_2 x$对所有充分大的$x$成立

而素数定理进一步告诉我们，当$x$趋向无穷时，$c_1$可以无限趋近于1，$c_2$也可以无限趋近于1。用反证法的话：

假设存在某个$\epsilon>0$，使得$\theta(x) > (1+\epsilon)x$对所有充分大的$x$成立。但我们知道，对于任意整数$n$，组合数$\binom{2n}{n}$能被所有$p \leq 2n$的素数的乘积整除，而$\binom{2n}{n} < 4^n$。同时，$\prod_{n < p \leq 2n} p < (2n)^{\pi(2n)-\pi(n)}$，根据Chebyshev的估计，$\pi(2n)-\pi(n) < c \frac{n}{\log n}$，所以$\prod_{n < p \leq 2n} p < e^{c n (1 + o(1))}$。结合起来就能得到$\theta(2n) < n(\log4 + o(1))$，这和$\theta(2n) > (1+\epsilon)2n$矛盾（只要$\epsilon>0$固定，当$n$足够大时，$(1+\epsilon)2n$会远大于$n(\log4 + o(1))$，因为$\log4 \approx 1.386 < 2$）。

反过来，假设$\theta(x) < (1-\epsilon)x$对所有充分大的$x$成立，同样可以用Chebyshev的下界$\theta(x) > (1 - o(1))x$导出矛盾——当$x$足够大时，$(1 - o(1))x$会大于$(1-\epsilon)x$，这就和假设冲突了。

总结一下：

• 原问题等价于证明$\theta(x) \sim x$，你给出的$\pi(x)$渐近式可以通过分部积分推出这个结果，从而直接证明两个不等式都不成立；
• 如果你想避开素数定理的余项，结合Chebyshev的经典估计和反证法也能轻松得到结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem