狄拉克δ函数与位置期望值的积分推导疑问

先明确说：你假设这个推导是正确的完全没问题——这是利用狄拉克δ函数筛选性质计算位置期望值的标准操作，逻辑完全严谨。狄拉克δ函数的核心性质就是对任意连续函数$f(y)$，都有$\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)dy = f(x)$，这里把$f(y)$换成$\psi(y)\psi^{*(y)$，直接就能得到$\psi}*(x)\psi(x)$，推导没有任何漏洞。

至于$\psi^*(x)\psi(x)$的后续转化，从物理和数学角度有这几个关键方向：

• 物理上直接对应位置概率密度：这个表达式就是量子力学里的位置概率密度，一般记作$\rho(x)$。直白点说，在位置$x$附近取一个极小的区间$dx$，在这个区间里找到粒子的概率就是$\rho(x)dx$——这是波函数统计诠释的核心，也是这个式子最核心的物理意义。
• 全空间积分得到总概率：如果把$\psi^{*(x)\psi(x)$对整个实数轴积分，也就是$\int_{-\infty}}\infty \psi^*(x)\psi(x)dx$，当波函数是归一化状态时，这个积分结果等于1，对应“在全空间找到粒子的总概率是1”的基本物理要求。要是波函数没归一化，这个积分结果就是归一化常数的平方，后续可以用它把波函数调整成归一化形式。
• 拓展计算其他位置相关量的期望值：要是想算势能$V(x)$这类和位置直接相关的物理量的期望值，就能用这个概率密度来算：$\langle V(x)\rangle = \int_{-\infty}^\infty V(x)\psi^*(x)\psi(x)dx = \int_{-\infty}^\infty V(x)\rho(x)dx$，本质就是对势能做概率加权平均。
• 数学上的等价写法：因为波函数通常是复值函数，$\psi^{*(x)\psi(x)$也可以写成$|\psi(x)|}2$，也就是波函数模的平方，这样写更直观，也能明确它是个非负的实数，符合概率密度的数学要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason Taylor