不均匀三面骰子：求第10次掷出第8个3的概率公式

嘿，这个问题咱们可以拆解成两个核心环节来一步步推导，逻辑其实很清晰：

要满足“第10次掷骰子时恰好出现第8个3”这个条件，本质上包含两个独立的事件：第10次必须掷出3，同时前9次掷骰子过程中恰好出现了7个3。最终概率就是这两个事件概率的乘积。

第一步：计算前9次恰好出现7个3的概率 #

我们需要从9次投掷中选7次掷出3，剩下2次掷出的是1或2（也就是非3的结果）：

• 从9次里选7次的组合数用组合公式表示为 C(9,7)（等价于 C(9,2)，因为选7次出现3等于选2次不出现3），其中组合数的计算式是 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
• 每次掷出3的概率是 p3，7次都掷出3的概率为 p3^7。
• 剩下2次掷出非3的概率：每次非3的概率是 p1 + p2（因为骰子只有三面，非3的情况就是1或2的概率和），所以2次的概率为 (p1 + p2)^2。

把这些部分结合起来，前9次恰好出现7个3的概率是：
C(9,7) * p3^7 * (p1 + p2)^2

第二步：计算第10次掷出3的概率 #

第10次投掷是独立于前9次的，所以掷出3的概率直接就是 p3。

第三步：合并得到最终概率 #

由于两个事件是独立发生的，将它们的概率相乘，就得到最终的概率公式：
P = C(9,7) * p3^8 * (p1 + p2)^2

如果用组合数的展开式写，就是：
P = [9!/(7!2!)] * p3^8 * (p1 + p2)^2

另外，因为骰子的三面概率满足 p1 + p2 + p3 = 1，所以 p1 + p2 = 1 - p3，公式也可以替换为：
P = C(9,7) * p3^8 * (1 - p3)^2

这个逻辑其实对应了负二项分布的场景——也就是在一系列独立试验中，成功指定次数（这里“成功”指掷出3）时的概率分布，完全贴合咱们的问题场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aggrawal Puja