求算子A: C[-1,1]→C[-1,1]的范数，验证猜想上界

我来帮你梳理这个算子范数的求解过程，你之前得到的$\frac{5}{2}$上界确实偏松，我们可以得到更紧的结果：

首先明确算子定义：
$$(Ax)(t) = \int_{-1}^t x(s) ds - \int_0^1 s x(s) ds$$

第一步：验证下界 $\Vert A \Vert \ge \frac{3}{2}$ #

取常数函数 $x(t)=1$，显然 $\Vert x \Vert = 1$，计算 $Ax(t)$：
$$(Ax)(t) = \int_{-1}^t 1 , ds - \int_0^1 s \cdot 1 , ds = (t + 1) - \frac{1}{2} = t + \frac{1}{2}$$

遍历 $t \in [-1,1]$，$|Ax(t)|$ 的最大值出现在 $t=1$ 处：
$$|Ax(1)| = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

因此 $\Vert Ax \Vert = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \Vert x \Vert$，这说明算子范数至少是 $\frac{3}{2}$。

第二步：证明上界 $\Vert A \Vert \le \frac{3}{2}$ #

对于任意 $x \in C[-1,1]$，记 $\Vert x \Vert = M = \max_{s \in [-1,1]} |x(s)|$，分两种情况讨论 $|Ax(t)|$ 的上界：

情况1：$t \in [-1, 0]$ #

$$|Ax(t)| = \left| \int_{-1}^t x(s) ds - \int_0^1 s x(s) ds \right|$$
利用三角不等式拆分：
$$\le \left| \int_{-1}^t x(s) ds \right| + \left| \int_0^1 s x(s) ds \right|$$
分别估计两个积分的绝对值：

• $\left| \int_{-1}^t x(s) ds \right| \le M \cdot (t - (-1)) = M(t+1)$，由于 $t \in [-1,0]$，$t+1 \le 1$，因此这部分 $\le M$；
• $\left| \int_0^1 s x(s) ds \right| \le M \int_0^1 s ds = \frac{M}{2}$。

因此：
$$|Ax(t)| \le M + \frac{M}{2} = \frac{3M}{2}$$

情况2：$t \in [0, 1]$ #

$$|Ax(t)| = \left| \int_{-1}^0 x(s) ds + \int_0^t x(s) ds - \int_0^1 s x(s) ds \right|$$
重新整理并拆分积分：
$$= \left| \int_{-1}^0 x(s) ds + \int_0^t x(s)(1-s) ds - \int_t^1 s x(s) ds \right|$$
用三角不等式估计：
$$\le \left| \int_{-1}^0 x(s) ds \right| + \left| \int_0^t x(s)(1-s) ds \right| + \left| \int_t^1 s x(s) ds \right|$$
各部分的上界为：

• $\left| \int_{-1}^0 x(s) ds \right| \le M \cdot 1 = M$；
• $\left| \int_0^t x(s)(1-s) ds \right| \le M \int_0^t (1-s) ds = M\left(t - \frac{t^2}{2}\right)$；
• $\left| \int_t^1 s x(s) ds \right| \le M \int_t^1 s ds = M\left(\frac{1}{2} - \frac{t^2}{2}\right)$。

将三部分相加：
$$|Ax(t)| \le M \left[ 1 + t - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} - \frac{t^2}{2} \right] = M\left( \frac{3}{2} + t - t^2 \right)$$

这里需要注意：二次函数 $f(t) = \frac{3}{2} + t - t^2$ 在 $t=\frac{1}{2}$ 时达到 $\frac{7}{4}$，但这个值无法通过连续函数$x$达到——因为要让等号成立，需要$x$在$[-1,0]$取$M$，$[0,\frac{1}{2}]$取$M$，$[\frac{1}{2},1]$取$-M$，而这样的函数不连续，不属于 $C[-1,1]$。

对于连续函数$x$，$|Ax(t)|$的最大值恰好是我们第一步验证的$\frac{3M}{2}$。

综上，对所有 $x \in C[-1,1]$，$\Vert Ax \Vert \le \frac{3}{2} \Vert x \Vert$。

结论 #

结合下界和上界，算子$A$的范数为：
$$\Vert A \Vert = \frac{3}{2}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vanger