正方形电荷排布的电势计算及电场相关问题咨询

(i) 正方形中心处的电势求解 #

先回忆电势的核心性质：电势是标量，叠加时直接代数相加即可，不用考虑方向，这是解题的关键。

首先计算正方形中心到每个顶点的距离：正方形边长为$a$，对角线长度是$a\sqrt{2}$，中心是对角线中点，因此到每个顶点的距离$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$。

点电荷的电势公式为$U = \frac{kq}{r}$（其中$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，也可以用$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$替换$k$）。四个顶点都是$+q$，直接把四个电荷的电势相加：
$$U_{总} = 4 \times \frac{kq}{r} = 4 \times \frac{kq}{\frac{a}{\sqrt{2}}} = \frac{4\sqrt{2}kq}{a}$$
换成$\varepsilon_0$的形式就是$\frac{\sqrt{2}q}{\pi\varepsilon_0 a}$，两种表达都正确。

(ii) 替换两个电荷为$-q$后的中心电势 #

还是利用电势是标量的特性，现在四个电荷是两个$+q$和两个$-q$，每个电荷到中心的距离不变。每个$+q$的电势是$+\frac{kq}{r}$，每个$-q$的电势是$-\frac{kq}{r}$，总电势就是：
$$U_{总} = 2 \times \frac{kq}{r} + 2 \times \left(-\frac{kq}{r}\right) = 0$$
正负贡献直接抵消，结果为0。

(iii) 替换哪两个电荷对中心电势的影响 #

答案是完全没有影响。不管你替换的是相邻的两个电荷，还是对角的两个电荷，只要是两个$+q$换成两个$-q$，四个电荷的电势贡献就是两个正、两个负，而每个电荷到中心的距离完全相同，所以每个电荷的电势绝对值一致，代数相加后必然抵消为0——毕竟电势是标量，只看电量的代数和，和位置的相对关系无关。

(iv) 替换哪两个电荷对中心电场的影响 #

这就和电势不一样了！因为电场是矢量，叠加时必须考虑方向，所以替换的位置会直接改变结果，分两种情况分析：

• 替换对角的两个电荷（比如左上角和右下角换成$-q$）：对角位置的电荷在中心产生的电场方向刚好相反。原来的$+q$在对角位置产生的电场相互抵消，换成$-q$后，这两个$-q$在中心产生的电场也会相互抵消，剩下的两个$+q$产生的电场同样抵消，最终中心总电场为0，和原来四个$+q$时的电场结果一致。
• 替换相邻的两个电荷（比如左上角和右上角换成$-q$）：相邻电荷在中心产生的电场方向不是相反的，而是存在夹角，叠加后会形成一个不为0的合电场（具体方向取决于替换的位置，比如向上或向下）。

所以结论是：替换对角的两个电荷时中心电场为0，替换相邻的两个电荷时中心电场不为0，因此替换的位置对中心电场有明显影响。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sangstar