非公平游戏最优偶数局数选择的概率推导疑问咨询

我来一步步拆解这个问题，帮你搞清楚推导逻辑和核心结论：

一、先明确获胜概率的定义 #

假设我们选2n个回合，获胜条件是得分超过总回合数的一半——也就是得分至少为n+1分（因为2n的一半是n，超过n就是≥n+1）。我们用P(2n)表示2n回合时的获胜概率，它就是二项分布的尾概率：
P(2n) = Σ(k=n+1到2n) C(2n, k) p^k (1-p)^(2n-k)
这里C(2n,k)是组合数，代表从2n个回合里选k个回合得分的情况数。

二、推导P(2n)和P(2n+2)的关系 #

要找到最优回合数，我们需要比较相邻偶数回合的获胜概率：当增加2个回合时，概率是变大还是变小？

我们可以把2n+2回合的获胜情况，拆成基于2n回合的几种状态：

• 如果2n回合得分≥n+2：加2个回合后总得分肯定≥n+2，直接赢；
• 如果2n回合得分刚好是n+1：加2个回合需要至少赢1次（总得分≥n+2），概率是1 - (1-p)²；
• 如果2n回合得分刚好是n：加2个回合需要赢2次（总得分n+2），概率是p²；
• 如果2n回合得分≤n-1：加2个回合最多得n-1+2=n+1，刚好等于一半，不满足获胜条件，概率为0。

把这些状态对应的概率加起来，整理后可以得到P(2n+2)和P(2n)的差值公式：
P(2n+2) - P(2n) = C(2n,n) p^(n+1)(1-p)^n * [ n(2p-1) + p ] / (n+1)

因为C(2n,n) p^(n+1)(1-p)^n肯定是正数（概率都是正的），所以差值的正负完全由分子n(2p-1) + p决定：

• 当n(2p-1) + p > 0时，P(2n+2) > P(2n)，说明增加2个回合胜率更高；
• 当n(2p-1) + p = 0时，P(2n+2) = P(2n)，这两个回合数的胜率相等；
• 当n(2p-1) + p < 0时，P(2n+2) < P(2n)，说明增加2个回合胜率会下降。

三、解不等式找最优回合数 #

我们把不等式n(2p-1) + p > 0变形一下（注意p<1/2，所以2p-1是负数，两边除以负数要变号）：
n < p/(1-2p)

这就是关键的不等式！它告诉我们：当n小于p/(1-2p)时，增加回合数胜率会上升；当n超过这个值时，胜率开始下降。

如果p/(1-2p)是整数，那对应的2n和2n+2回合的胜率相等（也就是你提到的P(2n)=P(2n+2)的情况），选哪个都可以；如果不是整数，我们取小于p/(1-2p)的最大整数n对应的2n回合，或者直接取最接近这个值的整数n——比如你提到的p=0.45，计算得p/(1-2p)=4.5，n=5对应的10回合就是胜率最高的（n=4时胜率还在上升，n=5是第一个让胜率开始下降的点）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者THD