有限域多项式不可约因子求解及有理域6次多项式伽罗瓦群计算问询

我来帮你一步步解决模素数多项式的分解问题，这是计算有理数域上多项式伽罗瓦群的关键步骤：

1. 模2约化多项式分解 #

首先将原多项式$f(X)=X^6+22X5-9X^4+12X3-37X^2-29X-15$的系数模2化简：

• 22≡0，-9≡1，12≡0，-37≡1，-29≡1，-15≡1
  得到：
  $$f_2(X)=X^6 + X^4 + X^2 + X + 1$$

分解验证：

• 代入$X=0$和$X=1$，结果都不为0，说明无一次因子；
• 尝试模2的二次不可约多项式$X^{2+X+1$，利用$X}3≡1$代入$f_2(X)$得$1 + X + X^2 + X + 1 = X^2 ≠0$，排除二次因子；
• 尝试模2的三次不可约多项式$X^3+X+1$和$X3+X^2+1$，代入后结果均不为0，排除三次因子；

因此，$f_2(X)$在$\mathbb{F}_2$上不可约，其伽罗瓦群为循环群$C_6$（有限域上d次不可约多项式的伽罗瓦群是$C_d$）。

2. 模3约化多项式分解 #

将系数模3化简：

• 22≡1，-9≡0，12≡0，-37≡2，-29≡1，-15≡0
  得到：
  $$f_3(X)=X^6 + X^5 + 2X^2 + X = X(X^5 + X^4 + 2X + 1)$$

分解验证：

• 提取一次因子$X$后，剩余五次多项式$g(X)=X^5+X4+2X+1$；
• 代入$X=0,1,2$，结果均不为0，无一次因子；
• 尝试模3的所有二次不可约多项式（$X^2+1$、$X2+X+2$、$X^2+2X+2$），代入后结果均不为0，排除二次因子；

因此，$g(X)$在$\mathbb{F}_3$上不可约，$f_3(X)$的伽罗瓦群为循环群$C_5$（五次不可约多项式的伽罗瓦群是$C_5$，一次因子不影响伽罗瓦群结构）。

3. 模5约化多项式分解 #

将系数模5化简：

• 22≡2，-9≡1，12≡2，-37≡3，-29≡1，-15≡0
  得到：
  $$f_5(X)=X^6 + 2X^5 + X^4 + 2X^3 + 3X^2 + X = X(X^5 + 2X^4 + X^3 + 2X^2 + 3X + 1)$$

分步分解：

1. 提取一次因子$X$后，剩余五次多项式$h(X)=X^5+2X4+X^3+2X2+3X+1$；
2. 代入$X=1$得$h(1)=10≡0$，提取因子$(X-1)$，用综合除法得四次多项式：
   $$k(X)=X^4 + 3X^3 + 4X^2 + X + 4$$
3. 代入$X=3$得$k(3)=30≡0$，提取因子$(X-3)$，用综合除法得三次多项式：
   $$m(X)=X^3 + X^2 + 2X + 2$$
4. 代入$X=-1$得$m(-1)=0$，提取因子$(X+1)$，分解得二次多项式$X^2+2$；
5. $X^2+2$在$\mathbb{F}_5$上不可约（2不是模5的平方数，平方数为0,1,4）；

最终分解式：
$$f_5(X)=X \cdot (X-1) \cdot (X-3) \cdot (X+1) \cdot (X^2+2)$$
其伽罗瓦群为循环群$C_2$（由二次不可约多项式的伽罗瓦群决定）。

4. 有理数域上原多项式的伽罗瓦群推断 #

• 原多项式无有理根（有理根定理验证），且模2不可约，故原多项式在$\mathbb{Q}$上不可约；
• 模2的结果说明伽罗瓦群包含6阶元素，模3的结果说明包含5阶元素，模5的结果说明包含2阶元素；
• 6次不可约多项式的伽罗瓦群是$S_6$的传递子群，包含6阶、5阶元素且含奇置换（由模5的对换因子可知），因此原多项式的伽罗瓦群为对称群$S_6$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zkzkzkzkzk