求立方体1绿2蓝3红面的不同染色方式数（考虑旋转等价）

要解决这个问题，我们用Burnside引理——这是计算对称物体不同染色方案的核心工具，它的核心逻辑是：不同染色方式的数量等于立方体所有旋转操作下，保持染色不变的方案数的平均值。

首先，立方体的旋转群共有24个元素，我们将其分为5类逐一分析：

1. 恒等旋转（1个元素） #

这个操作不改变任何面的位置，所有符合条件的染色都是不动点。我们计算总方案数：从6个面选1个染绿，剩下5个面选2个染蓝，剩余3个自然染红：
C(6,1) × C(5,2) = 6 × 10 = 60
因此这类操作的不动点数量为60。

2. 绕对面中心连线旋转90°/270°（6个元素） #

这类旋转会将面分为：2个单独的面（上下底面）和1个4面循环（侧面）。要保持染色不变，侧面4个面必须同色，但我们的染色中没有4个相同颜色的面，因此这类操作的不动点数量为0。

3. 绕对面中心连线旋转180°（3个元素） #

这类旋转的面结构是：2个单独的面（上下底面），以及2组两两交换的面（前后、左右）。要保持染色不变，每组交换的面颜色必须相同。我们分析符合1绿、2蓝、3红的情况：

• 绿色只能在单独的面（上下底），否则无法满足“交换面颜色相同”（只有1个绿色）。
• 剩下的2个蓝色刚好可以作为一组交换面，3个红色则由另一组交换面（2个）加上剩下的单独面（1个）组成。
  每个这类旋转对应的不动点数量为4（绿色在上/下底，蓝色组选前后/左右），3个元素总不动点为3×4=12。

4. 绕对棱中点连线旋转180°（6个元素） #

这类旋转会将面分为3组两两交换的面。由于我们只有1个绿色（奇数个），无法找到另一个绿色面配对，因此这类操作没有不动点，总不动点为0。

5. 绕体对角线旋转120°/240°（8个元素） #

这类旋转会将面分为2组3面循环。要保持染色不变，每组循环的3个面必须同色，但我们只有3个红色，剩下的3个面是1绿2蓝，无法组成同色循环，因此这类操作的不动点数量为0。

最终计算 #

将所有不动点求和后除以旋转群的大小24：
(60 + 0 + 12 + 0 + 0) ÷ 24 = 72 ÷ 24 = 3

也就是说，总共有3种不同的染色方式。我们也可以通过枚举验证：

• 蓝色面为一组对面，绿色面与两个蓝色面都相邻
• 蓝色面为一组相邻面，且都与绿色面相邻
• 蓝色面为一组相邻面，其中一个与绿色面相邻，另一个是绿色面的对面

这三种情况无法通过立方体旋转重合，正好对应计算结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user535017