技术咨询：梯形法则误差项上界的推导疑问

我来帮你拆解这个推导过程，其实关键是先把那个辅助函数$p(x)$的本质搞清楚，再一步步用积分不等式和积分计算来推导出上界：

第一步：看透辅助函数$p(x)$的本质 #

题目里定义的$p(x)$看起来有点复杂，但展开化简后会发现它的真实面目：
$$p(x) = \bigg(x - \dfrac{a+b}{2}\bigg)^2 - \dfrac{(b-a)^2}{4}$$
展开计算：
$$
\begin{align*}
p(x) &= x^2 - (a+b)x + \dfrac{(a+b)^2}{4} - \dfrac{(b-a)^2}{4} \
&= x^2 - (a+b)x + \dfrac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} \
&= x^2 - (a+b)x + ab \
&= (x-a)(x-b)
\end{align*}
$$
哦，原来$p(x)$就是$(x-a)(x-b)$！这个转换能帮你后续理解积分的符号和计算逻辑。

第二步：误差项的绝对值不等式推导 #

首先，梯形法则的误差项有一个精确的积分表达式（这一步是通过分部积分得到的，你应该已经看过前面的推导）：
$$E(f) = \dfrac{1}{2}\int_a^b f''(x)p(x)dx$$
接下来用积分三角不等式（核心规则：$|\int g(x)h(x)dx| \leq \int |g(x)h(x)|dx$），把绝对值套进去：
$$|E(f)| = \left| \dfrac{1}{2}\int_a^b f''(x)p(x)dx \right| \leq \dfrac{1}{2}\int_a^b \left| f''(x)p(x) \right| dx$$

第三步：提取$f''$的最大值 #

因为$f$是二阶连续可微函数，所以$|f''(x)|$在闭区间$[a,b]$上一定有最大值，记$M_2 = \max_{a \leq x \leq b} |f''(x)|$。根据$|f''(x)| \leq M_2$，我们可以把这个常数提到积分外面：
$$\dfrac{1}{2}\int_a^b \left| f''(x)p(x) \right| dx \leq \dfrac{M_2}{2}\int_a^b |p(x)| dx$$

第四步：计算$\int_a^b |p(x)| dx$ #

刚才已经知道$p(x)=(x-a)(x-b)$，在区间$[a,b]$上，$(x-a)\geq0$，$(x-b)\leq0$，所以$p(x)\leq0$，绝对值就是$-(x-a)(x-b)=(x-a)(b-x)$。现在计算这个积分：
$$\int_a^b |p(x)| dx = \int_a^b (x-a)(b-x)dx$$
用变量替换简化计算：令$h = \dfrac{b-a}{2}$，$t = x - \dfrac{a+b}{2}$（把区间中心移到原点），则$x = \dfrac{a+b}{2} + t$，$x=a$时$t=-h$，$x=b$时$t=h$，代入得：
$$
\begin{align*}
\int_{-h}^h (h+t)(h-t)dt &= \int_{-h}^h (h^2 - t^2)dt \
&= 2\int_0^h (h^2 - t^2)dt \quad \text{（被积函数是偶函数，对称区间积分可以翻倍）} \
&= 2\left[ h^2t - \dfrac{t^3}{3} \right]_0^h \
&= 2\left( h^3 - \dfrac{h^3}{3} \right) \
&= \dfrac{4h^3}{3}
\end{align*}
$$
把$h = \dfrac{b-a}{2}$代回去：
$$\dfrac{4}{3} \times \left( \dfrac{b-a}{2} \right)^3 = \dfrac{(b-a)^3}{6}$$

第五步：合并得到最终上界 #

把积分结果代入之前的式子：
$$|E(f)| \leq \dfrac{M_2}{2} \times \dfrac{(b-a)^3}{6} = \dfrac{(b-a)^3}{12}M_2$$
也就是：
$$E(f) \leq \dfrac{(b-a)^3}{12}\max_{a \leq x \leq b}|f''(x)|$$
注：你题目里写的上界$\dfrac{(b-a)^3}{2}\max|f''|$可能是中间步骤的简化或者笔误，标准梯形法则的误差上界是上面这个结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者titusAdam