求证$2\leqslant\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\leqslant3$，已知裂项等式求推导方法

嘿，你提到的那个裂项等式确实是个很棒的切入点！咱们可以从无穷级数的部分和入手，分左右两边一步步拆解证明，思路会很清晰：

先证左边不等式：$2\leqslant\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ #

首先，定义这个无穷级数的部分和为：
$$S_k = \sum_{n=0}^k \frac{1}{n!}$$

计算前几项的部分和：

• $S_0 = \frac{1}{0!} = 1$
• $S_1 = 1 + \frac{1}{1!} = 2$

当$k\geqslant1$时，$S_k = S_1 + \sum_{n=2}^k \frac{1}{n!}$。因为所有$\frac{1}{n!}$都是正数，后面的求和项只会让$S_k$比2更大，所以$S_k \geqslant 2$对所有$k\geqslant1$成立。

当$k$趋向无穷大时，部分和的极限（也就是无穷级数的和）自然满足：
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \lim_{k\to\infty} S_k \geqslant 2$$
左边的不等式就轻松搞定了。

再证右边不等式：$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\leqslant3$ #

这里给你两种方法，其中一种可以结合你给出的裂项等式：

方法1：等比级数放缩法 #

先把级数拆成前两项加后续无穷项：
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}$$

注意到当$n\geqslant2$时，$n! = n\times(n-1)\times\cdots\times2 \geqslant 2^{{n-1}$（比如$2!=2=2}1$，$3!=6\geqslant2^2=4$，归纳可证），因此：
$$\frac{1}{n!} \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}$$

把这个放缩代入后续的无穷级数，就得到一个等比级数：
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!} \leqslant \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n-1}}$$

这个等比级数的首项是$\frac{1}{2}$，公比是$\frac{1}{2}$，根据等比级数求和公式，它的和为：
$$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1$$

因此代入回去：
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 2 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!} \leqslant 2 + 1 = 3$$

方法2：结合裂项等式的思路 #

你已经知道$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$，这是典型的裂项相消结构。先看部分和$S_k$，我们可以计算：
$$\sum_{n=1}^k \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{n=1}^k \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$$

展开后中间项全部抵消，得到：
$$= \left(1 - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\right) = 1 - \frac{1}{(k+1)!}$$

题目里给出$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}=1$，其实就是当$k\to\infty$时，$\frac{1}{(k+1)!}\to0$的结果。

现在我们对$\sum_{n=2}^k \frac{1}{n!}$做另一种放缩：当$n\geqslant2$时，$n! \geqslant n(n-1)$，所以$\frac{1}{n!} \leqslant \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$。代入部分和：
$$S_k = 2 + \sum_{n=2}^k \frac{1}{n!} \leqslant 2 + \sum_{n=2}^k \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$$

同样裂项相消，后面的求和结果是$1 - \frac{1}{k}$，因此：
$$S_k \leqslant 2 + 1 - \frac{1}{k} = 3 - \frac{1}{k} < 3$$

当$k\to\infty$时，$\frac{1}{k}\to0$，所以无穷级数的和满足$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \leqslant3$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonelle Yu