如何不借助CAS手动求解以下四元代数方程组？

嘿，我来一步步带你手动解这个方程组，核心思路就是从最容易简化的方程入手，逐步消元，咱们慢慢来：

首先先把原方程组列清楚，方便后续参考：

1. (a + c = 4)
2. (d + ac + b = 5)
3. (ad + bc = 4)
4. (bd = 4)

第一步：简化变量关系 #

先看方程1和方程4，这两个都是二元方程，很容易用一个变量表示另一个：

• 从方程1直接得到：(c = 4 - a)（用(a)表示(c)，后续可以直接替换）
• 从方程4得到：(d = \frac{4}{b})（这里要注意(b \neq 0)，因为若(b=0)，方程4会变成(0=4)，明显矛盾）

第二步：代入消元，减少变量数量 #

现在把(c=4-a)和(d=\frac{4}{b})代入剩下的方程2和方程3，整个方程组就只剩下(a)和(b)两个变量了：

处理方程2：

代入后方程2变为：
[
\frac{4}{b} + a(4 - a) + b = 5
]
整理后得到更清晰的形式：
[
4a - a^2 + b + \frac{4}{b} = 5 \tag{2-1}
]

处理方程3：

代入后方程3变为：
[
a \cdot \frac{4}{b} + b(4 - a) = 4
]
展开并提取含(a)的项：
[
\frac{4a}{b} + 4b - ab = 4 \
a\left(\frac{4}{b} - b\right) = 4 - 4b
]
左边通分、右边提取公因子后：
[
a \cdot \frac{4 - b^2}{b} = 4(1 - b)
]
这里要注意(4 - b^2 \neq 0)（即(b \neq \pm 2)，否则左边为0，右边(4(1-b))不为0，矛盾），因此可以解出(a)：
[
a = \frac{4b(1 - b)}{(2 - b)(2 + b)} \tag{3-1}
]

第三步：求解变量(b)，得到所有解 #

把(3-1)代入(2-1)，为消去分母，先将(2-1)两边乘以(b)（(b \neq 0)，无问题）：
[
4ab - a^2b + b^2 + 4 = 5b \
-a^2b + 4ab + b^2 - 5b + 4 = 0
]
代入(3-1)并化简后，可提取公因子((b-1)(b-4))，得到：
[
(b-1)(b-4)\left( \frac{16b}{(2-b)^2(2+b)2} - \frac{1}{b} \right) = 0
]

分三种情况讨论：

情况1：(b-1=0)，即(b=1)

• 代入(d=\frac{4}{b})得(d=4)
• 代入(3-1)得(a=\frac{4 \times 1 \times (1-1)}{(2-1)(2+1)}=0)
• 代入(c=4-a)得(c=4)
• 验证原方程：(d+ac+b=4+0 \times 4 +1=5)（符合方程2），(ad+bc=0 \times4 +1 \times4=4)（符合方程3），所有方程成立。
• 解为：(\boldsymbol{a=0,\ b=1,\ c=4,\ d=4})

情况2：(b-4=0)，即(b=4)

• 代入(d=\frac{4}{b})得(d=1)
• 代入(3-1)得(a=\frac{4 \times4 \times(1-4)}{(2-4)(2+4)}=\frac{16 \times (-3)}{(-2) \times6}=4)
• 代入(c=4-a)得(c=0)
• 验证原方程：(d+ac+b=1+4 \times0 +4=5)（符合方程2），(ad+bc=4 \times1 +4 \times0=4)（符合方程3），所有方程成立。
• 解为：(\boldsymbol{a=4,\ b=4,\ c=0,\ d=1})

情况3：括号内的项为0

即(\frac{16b}{(2-b)^2(2+b)2} - \frac{1}{b}=0)，整理后得到：
[
16b^2=(4 - b²⁾2 \
b^4 -24b^2 +16=0
]
令(u=b^2)，解得(u=12\pm8\sqrt{2})，进而得到(b=\pm(2+2\sqrt{2}))或(b=\pm(2\sqrt{2}-2))。但将这些(b)值代入原方程验证后，发现均不满足方程2，属于增根，因此舍去。

最终结论 #

该方程组的所有实数解为：

• (a=0,\ b=1,\ c=4,\ d=4)
• (a=4,\ b=4,\ c=0,\ d=1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GoldkidofNmbTh