当限制在同维度集合上时，Hausdorff外测度是否σ有限？

先把问题的背景和定义明确一下，方便咱们对齐认知：

对于集合 $E \subseteq \mathbb{R}^n$，$s$维Hausdorff外测度定义为：
$$\mathcal{H}^s(E) = \lim_{\delta \to 0} \mathcal{H}^s_\delta(E)$$
其中
$$\mathcal{H}^s_\delta(E) = \inf\left{\sum_{k=1}^\infty (\text{diam } F_k)^s : E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty F_k, \text{diam } F_k < \delta\right}$$

集合$E$的Hausdorff维数则是：
$$\dim E = \inf{s < n : \mathcal{H}^s(E) = 0}$$

假设$E$是Borel集（自然是Hausdorff可测的），且它的Hausdorff维数正好是$s$，现在要问的是：把$\mathcal{H}^s$限制在$E$上时，这个测度是不是σ有限的？

直接给结论：不一定，存在反例 #

首先得明确σ有限测度的定义：一个测度$\mu$在集合$X$上是σ有限的，意思是$X$能拆成可数个可测子集的并，每个子集的测度都是有限的。

接下来分两种情况拆解：

1. 如果$\mathcal{H}^s(E) < \infty$：那肯定是σ有限的——直接把$E$当成唯一的非空子集就行，其他子集取空集，完全符合σ有限的要求。
2. 如果$\mathcal{H}^s(E) = \infty$：这里就有反例了，存在这样的Borel集$E$，你没法把它拆成可数个$\mathcal{H}^s$测度有限的子集。

具体来说，我们可以构造一个Borel集$E$满足：

• $\dim E = s$（保证它是同维度的集合）；
• $\mathcal{H}^s(E) = \infty$；
• 对$E$的任何$\mathcal{H}^{s$-可测子集$A$，要么$\mathcal{H}}s(A)=0$，要么$\mathcal{H}^s(A)=\infty$。

这种集合就完全没法满足σ有限的条件：要是试着拆成可数个子集，每个子集要么测度为0（加起来还是0，不等于$E$的无穷测度），要么测度无穷（本身就不符合“有限”的要求）。

这种构造的具体方法在分形几何的经典教材里（比如Falconer的《Fractal Geometry》）有详细说明，核心思路是通过超限归纳得到一个具有“原子性”Hausdorff测度的Borel集——它的任何可测子集要么是零测集，要么就继承了整个集合的无穷测度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Liding Yao