求黎曼球上ε半径圆对应复平面1/ε圆外的简易三角证明
嘿，很高兴你已经搞定了这个证明，还在琢磨更简洁的三角法思路！我来分享个非常直观的三角法推导方向，全程用球面几何和相似三角形的关系就能搞定：
先统一我们的基本设定：
- 取单位黎曼球（球心在原点 ( O )，半径为1），北极点 ( N(0,0,1) ) 作为球极投影的中心，复平面对应球面的 ( z=0 ) 平面（复平面原点为 ( O' )，即 ( (0,0,0) )）。
- 我们要分析的是：黎曼球上**以北极点 ( N ) 为中心、球面半径为 ( \varepsilon )**的小圆所围区域（球面上到 ( N ) 的球面距离小于 ( \varepsilon ) 的点集），经球极投影后对应复平面上半径约为 ( 1/\varepsilon ) 的圆外部（当 ( \varepsilon ) 很小时是精确近似，若要精确对应可调整球面半径的定义）。
接下来分三步推导：
球面距离转化为球心角
单位球面上，两点的球面距离等于球心对应的圆心角（因为球面距离公式为 ( R\theta )，这里 ( R=1 )）。所以球面上到 ( N ) 的球面距离为 ( \varepsilon ) 的点 ( P )，满足球心角 ( \angle NOP = \varepsilon )（( O ) 是球心）。用直角三角形求投影点的距离关系
从点 ( P ) 向 ( ON ) 轴（即z轴）作垂线，垂足为 ( Q )。在直角三角形 ( \triangle OQP ) 中：
- ( OP = 1 )（球面半径），所以 ( PQ = \sin\varepsilon )（点 ( P ) 到z轴的距离），( OQ = \cos\varepsilon )（点 ( P ) 的z坐标）。
- 线段 ( NQ ) 的长度为 ( NO - OQ = 1 - \cos\varepsilon )（因为 ( N ) 的z坐标是1）。
- 利用相似三角形关联复平面投影点
球极投影的本质是 ( N, P, p ) 三点共线（( p ) 是 ( P ) 在复平面的投影），因此 ( \triangle NPQ ) 和 ( \triangle NpO' ) 是相似直角三角形（都以 ( N ) 为顶点，且 ( PQ \parallel pO' )，都垂直于z轴）。
根据相似三角形的比例关系：
[
\frac{|p|}{PQ} = \frac{NO}{NQ}
]
代入已知的 ( PQ = \sin\varepsilon )、( NO = 1 )、( NQ = 1 - \cos\varepsilon )，可得：
[
|p| = \frac{\sin\varepsilon}{1 - \cos\varepsilon}
]
利用三角恒等式 ( \sin\varepsilon = 2\sin(\varepsilon/2)\cos(\varepsilon/2) )、( 1 - \cos\varepsilon = 2\sin^2(\varepsilon/2) )，化简后：
[
|p| = \cot(\varepsilon/2)
]
当 ( \varepsilon ) 很小时（( \varepsilon \ll 1 )），( \cot(\varepsilon/2) \approx \frac{2}{\varepsilon} \approx \frac{1}{\varepsilon/2} )，这就对应了你提到的“复平面上半径为 ( 1/\varepsilon ) 的圆外部”的近似关系；如果我们把球面半径定义为 ( \varepsilon/2 )，就能得到精确的 ( |p| = 1/\varepsilon ) 的对应关系。
整个过程全程用基础的三角和相似三角形知识，没有复杂的代数展开，应该算是你想要的简洁三角法思路啦！
内容的提问来源于stack exchange，提问作者sequence
