证明或证伪：递增连续函数无穷积分收敛的符号性质命题

嘿，这个问题我们可以通过严谨的推理来证明它是成立的，具体步骤如下：

已知$f:[1, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}$是递增、连续的实函数，且无穷积分$\int_{1}^{+\infty}f(t)dt$收敛，我们可以分三步推导：

1. 确定$f(x)$在无穷远处的极限 #

因为$f$是递增函数，它在$[1,+\infty)$上的走向只有两种可能：要么趋向$+\infty$，要么收敛到某个有限实数$L$。

• 如果$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，那必然存在某个$M\geq1$，当$x\geq M$时$f(x)\geq1$，此时积分$\int_{M}^{{+\infty}f(t)dt\geq\int_{M}}{+\infty}1dt=+\infty$，直接和积分收敛的条件矛盾。
  所以$f(x)$一定收敛到某个有限实数$L$。

2. 证明极限$L$必须为0 #

我们用反证法排除$L>0$和$L<0$的情况：

• 若$L>0$：存在$M\geq1$，当$x\geq M$时$f(x)\geq\frac{L}{2}>0$，此时积分$\int_{M}^{+\infty}f(t)dt\geq\frac{L}{2}\times(+\infty-M)=+\infty$，积分发散，矛盾。
• 若$L<0$：存在$M\geq1$，当$x\geq M$时$f(x)\leq\frac{L}{2}<0$，此时积分$\int_{M}^{+\infty}f(t)dt\leq\frac{L}{2}\times(+\infty-M)=-\infty$，积分发散，矛盾。
  因此只能有$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$。

3. 证明$f(x)$在整个区间上非正 #

假设存在某个$x_0\in[1,+\infty)$使得$f(x_0)>0$，由于$f$是递增函数，对所有$x\geq x_0$，都有$f(x)\geq f(x_0)>0$。此时积分$\int_{x_0}^{+\infty}f(t)dt\geq f(x_0)\times(+\infty-x_0)=+\infty$，再次和积分收敛矛盾。
这说明$f(x)\leq0$对所有$x\geq1$都成立。

最终结论 #

直接取$M=1$，那么$f$在$[M,+\infty)$上满足$f\leq0$，完全符合命题要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者koohyar eslami