薛定谔表象中时间反演变换下波函数与原波函数的关系探究

Let's walk through this problem clearly, starting with the core requirements and testing your proposed simple hypothesis.

首先回顾基础方程与不变性要求 #

在薛定谔表象中，态函数满足薛定谔方程：
$$\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}\phi(t,x)=H\phi(t,x).$$

时间反演不变性要求：变换后的波函数$\mathcal{T}\phi(t,x)$，当我们把时间变量替换为$t^{\prime=-t$时，必须满足**同一形式的薛定谔方程**。换句话说，若令$\psi(t}\prime,x) = \mathcal{T}\phi(t,x)$（这里$t = -t^\prime$），则$\psi$需要满足：
$$\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t^{\prime}\psi(t}\prime,x)=H\psi(t^\prime,x).$$

测试最简假设：$\mathcal{T}\phi(t,x)=\phi(-t,x)$ #

我们直接把这个假设代入时间反演后的方程，看看会得到什么结果：

1. 首先，将$\psi(t^\prime,x) = \phi(-t^\prime,x)$代入方程左侧：
   $$\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t^{\prime}\phi(-t}\prime,x) = \mathrm{i} \cdot (-1) \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t}(-t^\prime,x) = -\mathrm{i}\frac{\partial \phi}{\partial t}(-t^\prime,x).$$

2. 然后，利用原薛定谔方程的变形：$\frac{\partial \phi}{\partial t}(t,x) = \frac{1}{\mathrm{i}}H\phi(t,x)$，将$t$替换为$-t^\prime$，得到：
   $$\frac{\partial \phi}{\partial t}(-t^\prime,x) = \frac{1}{\mathrm{i}}H\phi(-t^\prime,x).$$

3. 把这个结果代回左侧表达式：
   $$-\mathrm{i} \cdot \frac{1}{\mathrm{i}}H\phi(-t^\prime,x) = -H\phi(-t^\prime,x) = -H\psi(t^\prime,x).$$

这时候我们发现，左侧等于$-H\psi(t^{\prime,x)$，但我们要求的是左侧等于$H\psi(t}\prime,x)$——这就出现了一个额外的负号，说明这个最简假设不满足时间反演的不变性要求，除非哈密顿量$H=0$（显然没有物理意义）。

正确的变换关系（无自旋粒子情况） #

要解决这个符号问题，时间反演变换需要引入复共轭操作。对于无自旋的非相对论粒子（哈密顿量$H=\frac{p^{2}{2m}+V(x)$是厄米算符，且$H}=H$），正确的变换关系是：
$$\mathcal{T}\phi(t,x) = \phi^(-t,x).$$

我们验证一下这个关系：

1. 代入时间反演后的方程左侧：
   $$\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t^\prime}\phi(-t^\prime,x) = \mathrm{i} \cdot (-1) \cdot \left( \frac{\partial \phi}{\partial t}(-t^\prime,x) \right)^.$$

2. 对原薛定谔方程取复共轭：$\left( \frac{\partial \phi}{\partial t}(t,x) \right)^* = \frac{1}{-\mathrm{i}}H^*\phi(t,x)$，由于$H$是厄米算符（实哈密顿量），$H^=H$，所以：
   $$\left( \frac{\partial \phi}{\partial t}(-t^\prime,x) \right)^* = \frac{1}{-\mathrm{i}}H\phi^*(-t\prime,x).$$

3. 代回左侧表达式：
   $$\mathrm{i} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{-\mathrm{i}}H\phi^*(-t\prime,x) = H\phi^*(-t\prime,x) = H\psi(t^\prime,x).$$

完美匹配时间反演后的薛定谔方程，满足不变性要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者spyro386