给定闭包算子时集合X上唯一拓扑的存在性证明

嘿，这个闭包算子诱导拓扑的问题我很熟，我来帮你把整个证明理清楚，顺便把你的思路补全～

给定函数 $f: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，满足以下四条公理：

• $(C_1): f(\emptyset) = \emptyset$
• $(C_2): A \subseteq f(A)$ 对任意 $A \subseteq X$ 成立
• $(C_3): f(A \cup B) =f(A) \cup f(B)$ 对任意 $A,B \subseteq X$ 成立
• $(C_4): f(f(A)) = f(A)$ 对任意 $A \subseteq X$ 成立

需要证明：存在唯一的拓扑 $\mathcal{T}$ 使得对所有 $A \subseteq X$，$\text{Cl}(A) = f(A)$（$\text{Cl}(A)$ 是 $A$ 在拓扑 $\mathcal{T}$ 下的闭包）。

你的思路方向是对的——我们可以通过闭集的性质反向定义拓扑，下面分存在性和唯一性两部分证明：

一、存在性：构造满足条件的拓扑 $\mathcal{T}$ #

首先，我们利用闭包算子的性质定义闭集族，再由闭集导出拓扑：

1. 定义闭集族：
   令 $\mathcal{F} = { F \subseteq X \mid f(F) = F }$，也就是所有被 $f$ 固定的集合（闭包等于自身的集合，符合闭集的定义）。
2. 定义拓扑：
   拓扑 $\mathcal{T}$ 是闭集的补集构成的集合，即：
   $$\mathcal{T} = { U \subseteq X \mid X \setminus U \in \mathcal{F} }$$

接下来验证 $\mathcal{T}$ 确实是 $X$ 上的拓扑，并且 $\text{Cl}(A)=f(A)$ 对所有 $A$ 成立：

验证 $\mathcal{T}$ 是拓扑 #

• 空集与全集属于 $\mathcal{T}$：
  • 由 $(C_1)$，$f(\emptyset)=\emptyset$，所以 $\emptyset \in \mathcal{F}$，因此 $X \setminus \emptyset = X \in \mathcal{T}$；
  • 由 $(C_2)$，$X \subseteq f(X)$，而 $f(X) \subseteq X$ 是显然的，故 $f(X)=X$，所以 $X \in \mathcal{F}$，因此 $X \setminus X = \emptyset \in \mathcal{T}$。
• 有限个开集的交仍属于 $\mathcal{T}$：
  任取 $U_1, U_2 \in \mathcal{T}$，则 $F_1 = X \setminus U_1$，$F_2 = X \setminus U_2$ 都属于 $\mathcal{F}$（即 $f(F_1)=F_1$，$f(F_2)=F_2$）。
  由集合运算，$U_1 \cap U_2 = X \setminus (F_1 \cup F_2)$。根据 $(C_3)$：
  $$f(F_1 \cup F_2) = f(F_1) \cup f(F_2) = F_1 \cup F_2$$
  所以 $F_1 \cup F_2 \in \mathcal{F}$，因此 $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$。
• 任意个开集的并仍属于 $\mathcal{T}$：
  任取 ${U_i}{i \in I} \subseteq \mathcal{T}$，则 $F_i = X \setminus U_i \in \mathcal{F}$。
  由集合运算，$\bigcup{i \in I} U_i = X \setminus \left( \bigcap_{i \in I} F_i \right)$。我们需要证明 $\bigcap_{i \in I} F_i \in \mathcal{F}$：
  • 由 $(C_2)$，$\bigcap_{i \in I} F_i \subseteq f\left( \bigcap_{i \in I} F_i \right)$；
  • 另一方面，对每个 $i$，$\bigcap_{i \in I} F_i \subseteq F_i$，而由 $(C_3)$ 可推导出 $f$ 的单调性：若 $A \subseteq B$，则 $f(A) \subseteq f(B)$（因为 $B = A \cup (B \setminus A)$，所以 $f(B)=f(A) \cup f(B \setminus A) \supseteq f(A)$）。因此 $f\left( \bigcap_{i \in I} F_i \right) \subseteq f(F_i) = F_i$ 对所有 $i$ 成立，故 $f\left( \bigcap_{i \in I} F_i \right) \subseteq \bigcap_{i \in I} F_i$。
    结合两方面得 $f\left( \bigcap_{i \in I} F_i \right) = \bigcap_{i \in I} F_i$，即 $\bigcap_{i \in I} F_i \in \mathcal{F}$，因此 $\bigcup_{i \in I} U_i \in \mathcal{T}$。

验证 $\text{Cl}(A) = f(A)$ #

拓扑中，$\text{Cl}(A)$ 是包含 $A$ 的最小闭集：

• 由 $(C_2)$，$A \subseteq f(A)$；由 $(C_4)$，$f(f(A))=f(A)$，所以 $f(A) \in \mathcal{F}$，即 $f(A)$ 是闭集。
• 任取闭集 $F \supseteq A$，则 $f(F)=F$。由 $f$ 的单调性，$f(A) \subseteq f(F)=F$，说明 $f(A)$ 是包含 $A$ 的最小闭集，因此 $\text{Cl}(A)=f(A)$。

二、唯一性：证明这样的拓扑是唯一的 #

假设存在另一个拓扑 $\mathcal{T}'$，使得对所有 $A \subseteq X$，$\text{Cl}_{\mathcal{T}'}(A)=f(A)$。

拓扑的闭集族由所有满足 $\text{Cl}_{\mathcal{T}'}(F)=F$ 的集合 $F$ 构成，而根据条件，这等价于 $f(F)=F$——这和我们之前定义的闭集族 $\mathcal{F}$ 完全一致。

拓扑的开集是闭集的补集，因此 $\mathcal{T}'$ 的开集族和 $\mathcal{T}$ 完全相同，即 $\mathcal{T}'=\mathcal{T}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user370967