求三次多项式中常数C的值：已知g'(x)整除g(2x)且Cpq=16r²

你已经正确设出了三次多项式的形式g(x)=A(x-p)(x-q)(x-r)，接下来咱们就顺着这个设定，结合导数整除的条件一步步推导：

1. 写出导数与目标多项式的表达式 #

首先求导得到二次多项式：

g'(x) = A[(x-q)(x-r) + (x-p)(x-r) + (x-p)(x-q)]

展开后也可以写成：

g'(x) = A[3x² - 2(p+q+r)x + (pq+pr+qr)]

同时，g(2x)的展开式为：

g(2x) = A[8x³ - 4(p+q+r)x² + 2(pq+pr+qr)x - pqr]

2. 利用整除条件建立系数等式 #

因为g'(x)整除g(2x)，所以g(2x)可以表示为g'(x)与某个一次多项式(mx + n)的乘积，即：

g(2x) = g'(x) * (mx + n)

将两边展开后对比各项系数（约去非零常数A），可以得到以下关键等式：

• x³项系数：8 = 3m → m = 8/3
• x²项系数：代入m后可解得n = (4/9)(p+q+r)
• x项系数：整理后得到 3(pq+pr+qr) = 4(p+q+r)²（记为等式①）
• 常数项：整理后得到 pqr = -4/9 (p+q+r)(pq+pr+qr)（记为等式②）

3. 结合条件Cpq=16r²求解C #

设S = p+q+r，P = pq+pr+qr，并将pq = (16/C)r²、p+q = S - r代入等式①和②：

1. 代入等式①，化简后得到关于S和r的关系式；
2. 代入等式②，结合①的结果消去S，最终得到只含C的方程。

通过换元法（设k = C^(1/3)）简化方程后，可解得唯一实根k=1，因此C=1。

验证一下：当C=1时，pq=16r²，且p+q=-4r，代入等式①和②均成立，符合所有条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jacky