非固连角速度的随动近似方法及磁轴承论文欧拉方程拟设疑问

1. 如何利用随动角速度近似非固连角速度？ #

咱们先把几个坐标系的定义捋明白：固连坐标系是跟刚体死死绑定、一起转动的，所以刚体的惯性矩阵在这个系里是常数；非固连坐标系比如惯性系，或者某个不跟着刚体转的参考系；随动角速度呢，其实就是准固连坐标系的角速度——这个坐标系会尽量跟着刚体转动，和刚体的姿态偏差很小。

用随动角速度近似非固连角速度的场景，大多是在刚体姿态变化慢、或者只需要低阶近似的情况：

• 如果随动坐标系几乎跟刚体同步转动，两者的相对角速度小到可以忽略，那随动坐标系的角速度就直接能替代非固连坐标系下的刚体角速度；
• 要是刚体只有微小的姿态扰动（比如磁轴承里转子的小幅振动），非固连坐标系下的刚体角速度，可以拆成随动坐标系的角速度加上一个微小扰动项，当扰动足够小时，直接用随动角速度近似就行；
• 这么做的核心目的就是简化模型——像磁轴承这类需要实时控制的系统，降低计算复杂度太重要了，这种近似在误差可接受的前提下，能让控制算法更高效。

2. 转动对称转子非固连坐标系下的欧拉方程解析 #

先把你提到的疑惑明确下：

对于一般刚体，欧拉方程基于固连坐标系推导，因惯性矩阵为常数；但对于转动对称转子，其惯性矩阵在非固连坐标系中也为常数，此时非固连坐标系下的欧拉方程为：$\begin{equation*}\mathbf{\Theta}\mathbf{\dot\omega}+\mathbf{\Omega}\times\mathbf{\Theta}\mathbf{\omega}=\mathbf{M}\end{equation*}$

咱们一步一步拆解：

首先回忆一般刚体的欧拉方程：在固连坐标系里，方程是$\boldsymbol{\Theta}_b \dot{\boldsymbol{\omega}}_b + \boldsymbol{\omega}_b \times (\boldsymbol{\Theta}_b \boldsymbol{\omega}_b) = \boldsymbol{M}_b$。这是因为只有在固连系里，刚体的惯性矩阵才是常数——毕竟坐标系跟着刚体转，惯性张量的方向不会变。

那转动对称转子的特殊之处在哪？

• 比如磁轴承里的圆柱形转子，它的惯性张量是轴对称的：假设对称轴是z轴，那么横向转动惯量$\Theta_{xx}=\Theta_{yy}=\Theta_t$，轴向转动惯量$\Theta_{zz}=\Theta_a$，其他分量都是0；
• 如果你选的非固连坐标系的z轴，始终和转子的对称轴重合（比如一个专门跟踪转子对称轴的参考系，或者转子对称轴在惯性系里方向不变的情况），那这个非固连坐标系下的惯性矩阵也是常数$\boldsymbol{\Theta}_f = \begin{pmatrix} \Theta_t & 0 & 0 \ 0 & \Theta_t & 0 \ 0 & 0 & \Theta_a \end{pmatrix}$——因为转动对称的特性，不管转子怎么转（只要对称轴和坐标系轴重合），惯性张量的分量都不会变。

接下来推导这个非固连系下的欧拉方程：
刚体角动量在惯性系里的时间导数等于外力矩，也就是$\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}_i = \boldsymbol{M}$。而角动量$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{\Theta}_f \boldsymbol{\omega}_f$（$\boldsymbol{\Theta}_f$是非固连系的惯性矩阵，$\boldsymbol{\omega}_f$是刚体在这个系里的角速度）。

根据坐标系导数变换规则：$\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}_i = \frac{d\boldsymbol{L}}{dt}_f + \boldsymbol{\Omega}_f \times \boldsymbol{L}$，这里$\boldsymbol{\Omega}_f$是非固连系相对于惯性系的角速度。

把角动量代入进去，因为$\boldsymbol{\Theta}_f$是常数，所以$\frac{d(\boldsymbol{\Theta}_f \boldsymbol{\omega}_f)}{dt}_f = \boldsymbol{\Theta}_f \dot{\boldsymbol{\omega}}_f$，最后就得到了：
$\boldsymbol{\Theta}_f \dot{\boldsymbol{\omega}}_f + \boldsymbol{\Omega}_f \times (\boldsymbol{\Theta}_f \boldsymbol{\omega}_f) = \boldsymbol{M}$

这就是你看到的那个方程，这里的$\boldsymbol{\Omega}$就是非固连系相对于惯性系的角速度，$\boldsymbol{\omega}$是刚体在这个非固连系里的角速度。

为什么这个方程成立？

• 核心就是转动对称让惯性矩阵在非固连系里保持常数，所以咱们不用切换到固连系就能写出简洁的欧拉方程。这对磁轴承建模太友好了——直接在跟踪对称轴的坐标系下设计控制器，不用频繁做坐标变换，大大简化了计算；
• 对比一般刚体：一般刚体的惯性矩阵在非固连系里是随时间变的（因为刚体转动会让惯性张量的方向改变），所以必须用固连系的常数惯性矩阵写方程，而转动对称转子刚好打破了这个限制，给控制建模带来了便利。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jodocus