证明满足(xy)ⁿ=xⁿyⁿ的有限群中G₁与G₂的正规性

我们已经搞定了$G_1$的正规性证明，现在来聚焦$G_2 = {x^n : x \in G}$的正规性推导，先把已知条件再明确下：

设$G$是单位元为$e$的有限群，存在固定整数$n>1$，使得对任意$x,y\in G$，均有$(xy)^n = x^nyn$。

第一步：先证$G_2$是$G$的子群 #

要成为正规子群，首先得满足子群的要求，我们逐一验证子群的三个核心条件：

• 封闭性：任取$a,b \in G_2$，则存在$x,y \in G$使得$a=x^n$，$b=yn$。根据题目给出的性质$(xy)^n=xny^{n$，可得$ab=x}ny^n=(xy)n$，而$xy \in G$，所以$ab \in G_2$，满足封闭性。
• 单位元存在：$e = e^n$，显然$e$属于$G_2$。
• 逆元存在：任取$a=x^n \in G_2$，因为$G$是群，$x^{-1} \in G$。利用性质$(xx^{-1})n=x^n(x{-1})^n$，即$en=x^n(x{-1})^{n$，可推出$(x}{-1})^n=(xn)^{-1}=a{-1}$，而$(x^{-1})n$属于$G_2$，因此$a^{-1} \in G_2$。

综上，$G_2$是$G$的子群。

第二步：证明$G_2$是正规子群 #

正规子群的核心判定标准是：对任意$g \in G$，任意$a \in G_2$，都有$gag^{-1} \in G_2$。

任取$g \in G$，$a \in G_2$，则存在$x \in G$使得$a=x^{n$。现在计算$gag}{-1}$：
$$gag^{-1}=gxng^{-1}$$

这里用到群的一个基本性质：共轭元素的$n$次幂等于原元素$n$次幂的共轭，也就是$(gxg^{-1})n=gx^ng{-1}$，这个结论可以用归纳法轻松验证：

• 当$n=1$时，显然成立；
• 假设$n=k$时$(gxg^{-1})k=gx^kg{-1}$，则$n=k+1$时：
  $$(gxg^{-1}){k+1}=(gxg^{-1})k(gxg^{-1})=gxkg^{-1}gxg{-1}=gx^kxg{-1}=gx^{k+1}g{-1}$$
• 负整数的情况同理可证。

所以$gx^ng{-1}=(gxg^{-1})n$，而$gxg^{{-1}$是$G$中的元素（群对共轭运算封闭），因此$(gxg}{-1})^n$是$G$中某个元素的$n$次幂，自然属于$G_2$。

这就说明$gag^{-1} \in G_2$，完全满足正规子群的定义。

另外，我们也可以从同态的角度理解：之前已经知道映射$\phi: G \to G, \phi(x)=x^{n$是群同态（因为$\phi(xy)=(xy)}n=x^nyn=\phi(x)\phi(y)$），而$G_2$正是$\phi$的像集$\phi(G)$。群同态的像集本身就是子群，再结合共轭运算的性质，像集中的元素经共轭后仍在像集中，所以$G_2$是正规子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者trynalearn