证明函数F(u,v)=[5u²-v⁴,3uv]在(0,0)处无局部逆映射

要直接证明这个结论，我们不需要依赖逆函数定理，只需要从局部逆映射的核心要求入手：若函数在某点存在局部逆映射，则它必须在该点的某个小邻域内是单射（每个输出对应唯一的输入）——单射是双射（逆映射存在的前提）的必要条件。如果能证明在$(0,0)$的任意邻域内，$F$都不是单射，就能直接得出不存在局部逆映射的结论。

构造映射结果相同的不同点 #

取任意非零的小实数$t$，考虑两个不同的点$(t, t)$和$(-t, -t)$，计算它们在$F$下的像：

• 对于点$(t, t)$：

  F(t, t) = [5t^2 - t^4, 3t \cdot t] = [5t^2 - t^4, 3t^2]
  

• 对于点$(-t, -t)$：

  F(-t, -t) = [5(-t)^2 - (-t)^4, 3(-t)(-t)] = [5t^2 - t^4, 3t^2]
  

显然，这两个点的映射结果完全一致，但只要$t \neq 0$，$(t, t) \neq (-t, -t)$，是两个不同的点。

说明任意邻域内都存在这样的点 #

对于$(0,0)$的任意邻域$U$，我们只需取$t$足够小（比如$|t| < \delta$，其中$\delta$是邻域$U$的半径对应的正数），就能让$(t, t)$和$(-t, -t)$都落在$U$中。

这意味着，在$U$中必然存在两个不同的点，它们被$F$映射到同一个输出——也就是说，$F$在$U$上不是单射。

结论 #

局部逆映射要求函数在邻域内是双射（单射+满射），而$F$在$(0,0)$的任何邻域内都不满足单射的条件，因此$F$在$(0,0)$处不存在局部逆映射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者clovis