求证满足f(kx)=f(x)(|k|≠1)且在0处连续的实函数为常函数及相关疑问

一、当$f$在0处连续时，证明$f$是常函数 #

咱们就从你提到的0点连续性定义来推进证明，核心思路是利用$f(kx)=f(x)$的递推关系，把任意点的函数值和0点附近的函数值绑定，再用连续性过渡到$f(0)$。

分两种情况讨论$k$的取值：

• 情况1：$|k|>1$
  对任意实数$x$，反复套用条件$f(kx)=f(x)$，能得到：
  $$f(x) = f\left(\frac{x}{k}\right) = f\left(\frac{x}{k^2}\right) = \dots = f\left(\frac{x}{k^n}\right)$$
  当$n$趋向无穷大时，$\frac{x}{k^{n}$的绝对值会趋近于0（因为$|k|>1$，$k}n$的绝对值会越来越大）。
  结合$f$在0处的连续性：对任意$\epsilon>0$，当$n$足够大时，$\left|\frac{x}{k^n} - 0\right| < \delta$，此时$\left|f\left(\frac{x}{k^n}\right) - f(0)\right| < \epsilon$。这意味着当$n\to\infty$时，$f\left(\frac{x}{k^n}\right)$趋近于$f(0)$，而$f(x)$等于这个序列的每一项，所以$f(x)=f(0)$。

• 情况2：$|k|<1$
  同样对任意实数$x$，反复用条件可得：
  $$f(x) = f(kx) = f(k^2x) = \dots = f(k^n x)$$
  当$n$趋向无穷大时，$k^n x$的绝对值趋近于0（因为$|k|<1$，$k^n$会趋近于0）。
  再利用0点连续性：当$n$足够大时，$|k^n x - 0| < \delta$，此时$\left|f(k^n x) - f(0)\right| < \epsilon$，即$f(k^n x)\to f(0)$，所以$f(x)=f(0)$。

不管哪种情况，任意实数$x$的函数值都等于$f(0)$，因此$f$是常函数。

二、若$f$在0处不连续，它不一定是常函数 #

咱们可以构造一个反例来说明：
取$k=2$（满足$|k|\neq1$），定义函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$如下：

• 当$x=0$时，$f(x)=0$；
• 当$x\neq0$时，把$x$写成$x=2^n \cdot s$的唯一形式（其中$n$是整数，$s\in[1,2)$），令$f(x)=s$。

验证条件：对于任意$x\neq0$，$2x=2^{n+1}\cdot s$，对应的$s$不变，所以$f(2x)=s=f(x)$；$x=0$时$f(2*0)=f(0)=0$，显然成立。

但这个函数不是常函数：比如$f(1)=1$，$f(1.5)=1.5$，二者不相等。同时它在0处不连续：取序列$x_n=\frac{1}{2^n}$，当$n\to\infty$时$x_n\to0$，但$f(x_n)=1$，而$f(0)=0$，$\lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq f(0)$，满足不连续的条件。

这就说明，当$f$在0处不连续时，它可以不是常函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.Doe