基数不等式AB<A^B（B≥|ℕ|）的简易证明技术问询

嘿，这个问题问得很到位！我们可以分情况来推导这个严格不等式 $AB < A^B$，先明确一下前提：我们默认 A是至少为2的基数（如果A=0或1，这个不等式不成立——比如A=1时，$1·B = B ≥ |ℕ| > 1 = 1^B$，反而反过来了；A=0时两边都是0，是等式），同时已知$B≥|ℕ|$（自然数集的基数，也就是$\aleph_0$）。

情况1：A是有限基数（且A≥2） #

首先回忆基数运算的定义：

• $AB$ 是集合 $A \times B$ 的基数，也就是所有有序对 $(a,b)$（$a∈A, b∈B$）的个数；
• $A^B$ 是所有从B到A的函数的集合的基数，记为 $|B→A|$。

因为B是无限基数（≥$\aleph_0$），有限数乘无限基数的结果等于那个无限基数，所以 $AB = |B|$。

接下来看 $A^B$：因为A≥2，我们可以取A的一个二元子集（比如${0,1}$），那么所有从B到${0,1}$的函数是 $A^B$ 的一个子集，这个子集的基数是 $2^B$。根据康托尔定理，对任何集合X，都有 $2^{|X|} > |X|$，所以 $2^B > |B|$。

既然 $A^B ≥ 2^B > |B| = AB$，那严格不等式 $AB < A^B$ 就成立了。

情况2：A是无限基数 #

对于无限基数，我们有两个关键性质：

1. 无限基数的平方等于自身：$A×A = A$；
2. 两个无限基数的乘积等于较大的那个：$AB = \max(A,B)$。

现在分两种子情况讨论：

• 子情况2.1：B ≥ A
  此时 $AB = B$。而 $A^B ≥ 2^{B$（因为A≥2），再用康托尔定理，$2}B > B$，所以 $A^B ≥ 2^B > B = AB$，不等式成立。
• 子情况2.2：A > B
  此时 $AB = A$。我们需要证明 $A^B > A$：
  因为$B≥\aleph_0$，所以 $A^B ≥ A^{\aleph_0}$（基数指数函数在指数增大时不会减小）。现在用对角线法证明 $A^{\aleph_0} > A$：
  假设存在双射 $f: A → A^{\aleph_0}$（也就是把每个A中的元素对应到一个从$\mathbb{N}$到A的函数）。我们构造一个新函数 $g: \mathbb{N} → A$，对每个自然数n，让 $g(n)$ 不等于 $f(a_n)(n)$（其中 ${a_n}_{n∈\mathbb{N}}$ 是A中任意一个可数子集）。这样g不在f的像里，矛盾，所以 $A^{\aleph_0} > A$。
  因此 $A^B ≥ A^{\aleph_0} > A = AB$，严格不等式成立。

总结一下，只要A≥2且$B≥|ℕ|$，就一定有 $AB < A^B$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bananach