基于点到原点距离|p|，求证直线上两点距离为|y-x|

嘿，咱们把这个预微积分里的基础结论拆成六种坐标位置情况，一步步推导验证，确保每一步都清晰易懂。先明确已知前提：数轴上点P（坐标为p）到原点O的距离为|p|，接下来咱们分情况讨论点X（坐标x）和点Y（坐标y）的所有位置关系：

• 情况1：两点均在原点右侧，顺序为O→X→Y（即0 < x < y）
  已知原点到X的距离是|x|=x（因为x>0），原点到Y的距离是|y|=y（y>0）。两点在数轴上的顺序是O在左，X在中间，Y在右，所以XY的实际距离就是OY的长度减去OX的长度，即 ( y - x )。而( |y - x| )因为y>x，结果就是( y - x )，和实际距离完全相等，得证。

• 情况2：两点均在原点右侧，顺序为O→Y→X（即0 < y < x）
  同理，OX的长度是x，OY的长度是y。此时Y在X左侧，XY的实际距离是OX减去OY，即 ( x - y )。而( |y - x| = |-(x - y)| = x - y )，和实际距离一致，得证。

• 情况3：两点均在原点左侧，顺序为Y→X→O（即y < x < 0）
  原点到X的距离是( |x| = -x )（x为负数），原点到Y的距离是( |y| = -y )（y为负数）。Y在X的左侧，所以XY的实际距离是X的坐标减去Y的坐标：( x - y )（因为x>y，负数相减得正数）。而( |y - x| = |-(x - y)| = x - y )，和实际距离相等，得证。

• 情况4：两点均在原点左侧，顺序为X→Y→O（即x < y < 0）
  此时X在Y左侧，XY的实际距离是( y - x )（y>x，负数相减得正数）。直接计算( |y - x| )，因为y>x，结果就是( y - x )，和实际距离完全匹配，得证。

• 情况5：X在原点左侧，Y在原点右侧（即x < 0 < y）
  这种情况下，XY的实际距离是原点到X的距离加上原点到Y的距离，也就是( |x| + |y| = -x + y = y - x )。而( |y - x| = y - x )（y是正数，x是负数，y - x必然为正），和实际距离一致，得证。

• 情况6：Y在原点左侧，X在原点右侧（即y < 0 < x）
  同理，XY的实际距离是原点到Y的距离加原点到X的距离：( |y| + |x| = -y + x = x - y )。计算( |y - x| = |-(x - y)| = x - y )，和实际距离相等，得证。

以上六种情况覆盖了数轴上两点所有可能的位置关系（包括其中一点在原点的特殊情况，比如x=0时就是情况1或5的特例，同样符合结论），每种情况都验证了两点间的实际距离等于( |y - x| )，这个结论就完全成立了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Viktor K.