请求证明：Row Reduced Echelon Form矩阵的列空间基为主元列

嘿，刚接触线性代数和数学证明的话，这个问题确实是打通行秩列秩相等的关键节点～先给你几个核心提示，要是看完还觉得需要完整推导，我再给你补全：

• 先牢牢记住**行最简形矩阵（Row Reduced Echelon Form, RREF）**的定义：首非零元（leading non-zero entry）所在列的其他位置全是0，而且每个首非零元的行、列位置都比前一个更靠右下。
• 第一步要证：这些含首非零元的列是线性无关的。假设用一组系数把这些列线性组合成零向量，从最左边的首非零元列开始看——它的首非零元位置只有自己有1，其他列在这个位置都是0，那对应的系数只能是0，依次往右推就能得出所有系数都是0。
• 第二步要证：RREF的任意一列都能被这些含首非零元的列线性表示。对于不含首非零元的列，你看看它的元素是不是刚好对应前面首非零元列的首非零元位置的系数？比如某列没有首非零元，它的每个元素其实就是前面几个首非零元列的线性组合系数，这是行化简过程保证的。
• 列空间的基只需要满足两个条件：线性无关 + 能张成整个列空间，把上面两步结合起来就搞定啦。

假设我们有一个m×n的RREF矩阵A，它有r个首非零元，对应的列是$c_1, c_2, ..., c_r$（满足$1 ≤ c_1 < c_2 < ... < c_r ≤ n$）。

1. 证明$c_1, c_2, ..., c_r$线性无关 #

设存在实数$k_1, k_2, ..., k_r$使得：
$$k_1A_{,c_1} + k_2A_{,c_2} + ... + k_rA_{,c_r} = 0$$
其中$A_{,c_i}$表示矩阵A的第$c_i$列。

观察第$c_1$列的首非零元所在行（记为行$i_1$），这个位置只有$A_{i_1,c_1}=1$，其他列$A_{i_1,c_j}=0$（j>1），因此等式在第$i_1$行的分量就是$k_1=0$。

同理，看第$c_2$列的首非零元所在行$i_2$，此时$k_1=0$，等式在第$i_2$行的分量直接得出$k_2=0$。按这个逻辑依次往右推，所有系数$k_i$都必须是0，因此这r列线性无关。

2. 证明任意列都可由这r列线性表示 #

对于矩阵A的任意一列$A_{*,j}$（j从1到n）：

• 如果j是$c_1$到$c_r$中的某一个，显然它可以由自身（系数1）和其他首非零元列（系数0）线性表示。
• 如果j不在$c_1$到$c_r$中，根据RREF的定义，这一列没有首非零元，也就是说它的每个元素都对应着某个首非零元列的首非零元位置。设第j列在$i_1,i_2,...,i_r$行的元素为$a_1,a_2,...,a_r$，那么：
  $$A_{,j} = a_1A_{,c_1} + a_2A_{,c_2} + ... + a_rA_{,c_r}$$
  这一点由行化简的规则保证：行变换不会改变列之间的线性依赖关系，非首非零元列正是通过行变换被表示为首非零元列的线性组合。

综上，$c_1,c_2,...,c_r$满足基的两个条件，因此是RREF矩阵列空间的一组基。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者manifold