聚变事件：动能、引发温度计算及公式2((3/2)kT)合理性问询

让我们一步步拆解这个问题，从计算斥力动能开始，再推导所需温度，最后解释动能公式的由来。

一、克服库仑斥力所需的动能 #

当氘核和氚核刚好接触时，它们的库仑势能就是需要克服的最小动能（此时动能完全转化为势能，达到势垒顶点）。

已知条件：

• 氘核、氚核半径均为$r_0=2.0\ \text{fm}=2.0\times10^{{-15} \text{m}$，所以两核中心距离$r=2r_0=4.0\times10}{-15}\ \text{m}$
• 两核电荷均为$q=e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$
• 库仑常数$k=9.0\times10^{9 \text{N·m}}2/\text{C}^2$

库仑势能公式为：
$$U = \frac{kq_1q_2}{r}$$

代入数值计算：
$$U = \frac{9.0\times10^9 \times (1.6\times10^{-19})2}{4.0\times10^{-15}} = \frac{9.0\times10^9 \times 2.56\times10^{{-38}}{4.0\times10}{-15}} = 5.76\times10^{-14}\ \text{J}$$

转换成电子伏特（$\text{1 eV}=1.6\times10^{-19}\ \text{J}$）更直观：
$$U = \frac{5.76\times10^{{-14}}{1.6\times10}{-19}} = 3.6\times10^5\ \text{eV}=360\ \text{keV}$$

所以克服库仑斥力所需的动能约为360 keV（或$5.76\times10^{-14}\ \text{J}$）。

二、引发聚变所需的加热温度 #

题目提示：单次聚变事件所需动能 = 相互作用粒子的平均热动能 = $2\left(\frac{3}{2}kT\right)=3kT$，其中$k=1.38\times10^{-23}\ \text{J/K}$是玻尔兹曼常数。

令库仑势能等于这个热动能：
$$U = 3kT$$

解温度$T$：
$$T = \frac{U}{3k} = \frac{5.76\times10^{{-14}}{3\times1.38\times10}{-23}} \approx \frac{5.76\times10^{{-14}}{4.14\times10}{-23}} \approx 1.39\times10^9\ \text{K}$$

也就是大约1.4亿开尔文，这是引发氘氚聚变需要的近似温度。

三、为什么所需动能是$2\left(\frac{3}{2}kT\right)$而非$\frac{3}{2}kT$？ #

这里的关键是理解相对动能的概念：

• $\frac{3}{2}kT$是单个粒子在热平衡下的平均平动动能，描述的是单个粒子的运动能量。
• 聚变是两个粒子（氘核+氚核）之间的相互作用，我们需要的是它们之间的相对动能来克服库仑势垒。在热平衡状态下，两个粒子都在做无规则热运动，它们的相对动能的平均值等于两个粒子的平均动能之和——也就是$\frac{3}{2}kT + \frac{3}{2}kT = 2\left(\frac{3}{2}kT\right)$。

换个角度想：如果只考虑单个粒子的$\frac{3}{2}kT$，那是假设另一个粒子静止，但实际热平衡中两个粒子都在运动，两者的相对运动能量才是突破势垒的关键，所以需要把两个粒子的平均动能加起来，就得到了$2\left(\frac{3}{2}kT\right)$的表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mp62442