静水船速与水流速度求解验证：行程时间应用题

问题：一艘船逆流行驶32千米、顺流行驶36千米共耗时7小时；逆流行驶40千米、顺流行驶48千米共耗时9小时。求解该船在静水中的速度及水流速度。

这是个典型的二元方程组应用问题，咱们一步步拆解解决：

步骤1：定义变量与速度关系 #

首先设定两个核心变量：

• 船在静水中的速度为 x 千米/小时
• 水流速度为 y 千米/小时

根据流水行船的基本规律：

• 逆流行驶速度：$(x - y)$ 千米/小时（水流会抵消一部分船速）
• 顺流行驶速度：$(x + y)$ 千米/小时（水流会给船额外的推力）

步骤2：根据两种行驶场景列时间方程 #

时间=路程÷速度，咱们把两种情况的时间关系转化为方程：

场景1：总耗时7小时 #

• 逆流32千米的时间：$t_1 = \frac{32}{x - y}$
• 顺流36千米的时间：$t_2 = \frac{36}{x + y}$
  总时间满足：$t_1 + t_2 = 7$，代入后得到第一个方程：
  $$\frac{32}{x - y} + \frac{36}{x + y} = 7 \tag{1}$$

场景2：总耗时9小时 #

• 逆流40千米的时间：$t_3 = \frac{40}{x - y}$
• 顺流48千米的时间：$t_4 = \frac{48}{x + y}$
  总时间满足：$t_3 + t_4 = 9$，代入后得到第二个方程：
  $$\frac{40}{x - y} + \frac{48}{x + y} = 9 \tag{2}$$

步骤3：换元简化方程组 #

直接解分式方程有点麻烦，咱们用换元法简化计算：
设 $a = \frac{1}{x - y}$，$b = \frac{1}{x + y}$，这样方程(1)和(2)就变成了简单的二元一次方程组：
$$32a + 36b = 7 \tag{1'}$$
$$40a + 48b = 9 \tag{2'}$$

接下来用消元法解这个方程组：

1. 把(1')两边乘以5，(2')两边乘以4，得到：
   $$160a + 180b = 35 \tag{3}$$
   $$160a + 192b = 36 \tag{4}$$
2. 用(4)减去(3)消去a：
   $$12b = 1 \implies b = \frac{1}{12}$$
3. 把$b = \frac{1}{12}$代入(1')，计算a：
   $$32a + 36\times\frac{1}{12} = 7 \implies 32a + 3 = 7 \implies a = \frac{1}{8}$$

步骤4：还原变量求最终结果 #

现在把a和b还原回原来的变量：

• 因为$a = \frac{1}{x - y} = \frac{1}{8}$，所以 $x - y = 8$
• 因为$b = \frac{1}{x + y} = \frac{1}{12}$，所以 $x + y = 12$

再解这个简单的方程组：

1. 把两个方程相加：$2x = 20 \implies x = 10$
2. 把x=10代入$x - y = 8$，得到 $y = 2$

验证结果 #

咱们核对一下结果是否符合原题：

• 逆流速度：10-2=8 km/h，32千米耗时32÷8=4小时；顺流速度：10+2=12 km/h，36千米耗时36÷12=3小时，总耗时4+3=7小时，符合第一个条件。
• 逆流40千米耗时40÷8=5小时；顺流48千米耗时48÷12=4小时，总耗时5+4=9小时，完全符合第二个条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PlopMon