关于E值测度与E×F→G有界双线性算子的F值函数积分叫什么？

你问的这种基于E值有界变差测度、F值函数，通过有界双线性算子$\mathfrak{b}:E\times F\to G$定义的积分，标准名称是Bartle积分（也常被称为Bartle双线性积分），下面给你对应上定义细节和背景：

核心定义背景梳理 #

• 基础框架：给定可测空间$(\Omega,\mathcal A)$，实巴拿赫空间$E,F,G$
• 测度条件：$\mu:\mathcal A\to E$是$\sigma$-可加且有界变差的向量值测度
• 双线性配对：$\mathfrak b:E\times F\to G$是有界双线性算子

简单函数的积分定义 #

若$f=\sum_{i=1}^k1_{A_i}x_i$是$\Omega\to F$的$\mathcal A$-简单函数（注：你原文里写的“从$\Omega$到$E$”应该是笔误，因为积分构造是配对$\mu(A_i)\in E$和$x_i\in F$），定义积分：
$$\int f:{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^k\mathfrak b(\mu(A_i),x_i).$$

可积函数空间的延拓 #

记$|\mu|:\mathcal A\to[0,\infty)$为$\mu$的变差测度，对应的可积函数空间$\mathcal L^1(\mu;F)$是所有满足$\int|f|_F{\rm d}|\mu|<\infty$的强可测$F$-值函数构成的空间。上面的简单函数积分可以唯一延拓为从$\mathcal L^1(\mu;F)$到$G$的有界线性算子，这就是完整的Bartle积分构造。

补充说明 #

这个积分是Robert G. Bartle在1953年的论文《A Generalized Vector Integral》中首次引入的，是向量值积分领域的重要推广：当双线性算子取为$E$与其对偶空间的配对时，它可以退化为Pettis积分；当$E=F=G$且双线性算子是乘法时，也能覆盖Bochner积分的部分场景。

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