用能量法求解贯穿地球隧道中物体的简谐运动周期

咱们一步步来推导这个问题哈，先明确已知前提：地球总质量为$M_0$，距离球心$r$处的内部球体质量满足$M_e(r)=M_0\left(\frac{r}{R_e}\right)^3$（这意味着地球密度均匀）。

势能推导 #

以孔洞的中点为势能参考点，物体的势能推导过程如下：
$$
U = -\frac{G M_0 md^3}{R_e3d} + \frac{G M_0 mr^3}{R_e3r} = \frac{GM_0m}{R_e^3}(r2-d^2)
$$
这里的$d$是孔洞中点到球心的距离，$r$是物体所在位置到球心的距离。如果我们设物体相对于孔洞中点的位移为$y$，根据几何关系$r^2 - d^2 = y^2$，势能可以进一步简化为：
$$
\therefore U = \frac{GM_0m}{R_e^3}y2
$$

简谐运动周期推导 #

假设物体在该位置的速度为$v$，我们可以通过回复力分析来推导周期：

• 从势能求回复力：简谐运动的回复力是势能对位移的负导数，即$F = -\frac{dU}{dy}$，代入势能表达式可得：
  $$
  F = -\frac{2GM_0m}{R_e^3}y
  $$
  这个形式完全符合简谐运动的核心特征——回复力与位移成正比且反向（$F=-ky$），其中劲度系数$k=\frac{2GM_0m}{R_e^3}$。
• 计算角频率：对于简谐运动，角频率$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，代入$k$的表达式得：
  $$
  \omega = \sqrt{\frac{2GM_0}{R_e^3}}
  $$
• 推导周期：周期$T$与角频率的关系为$T=\frac{2\pi}{\omega}$，代入后得到最终周期公式：
  $$
  T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{2GM_0}}
  $$

补充说明：如果孔洞是贯穿球心的特殊情况，此时孔洞中点就是球心（$d=0$），正确的势能推导会得到$U=\frac{GM_0m}{2R_e^3}y2$，对应的回复力$F=-\frac{GM_0m}{R_e^{3}y$，结合地表重力加速度$g=\frac{GM_0}{R_e}2}$替换后，最终周期会简化为$T=2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$，这个周期和地球表面单摆的周期完全一致哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shuvam Shah