基于算子对易关系证明阶梯算子对易式$[a_-,a_+^n]=na_+^{n-1}$

嘿，这个问题虽然打着量子力学的旗号，但本质就是个纯代数推导题，咱们用数学归纳法一步步来拆解，完全不用纠结物理意义，专注处理代数关系就行~

已知升降算符满足非对易关系：
$$ a_+a_- = a_-a_+-1 \quad \text{(eq.1)} $$
我们需要证明对易子等式：
$$ [a_-,a_+^n]=na_+{n-1} \quad \text{(eq.2)} $$
其中对易子定义为 $[A,B] = AB - BA$。

步骤1：验证基础情况（n=1） #

当n=1时，对易子就是：
$$ [a_-,a_+] = a_-a_+ - a_+a_- $$
把eq.1变形得到 $a_-a_+ = a_+a_- + 1$，代入上式：
$$ (a_+a_- + 1) - a_+a_- = 1 $$
而等式右边当n=1时是 $1\cdot a_+^{0} = 1$（这里$a_+^0$是单位算符，值为1），基础情况完全成立。

步骤2：归纳假设（假设n=k时等式成立） #

假设对于任意正整数k，等式$[a_-,a_+^k] = ka_+^{k-1}$成立，也就是：
$$ a_-a_+^k - a_+^k a_- = ka_+^{k-1} $$
把它变形为更方便后续推导的形式：
$$ a_-a_+^k = a_+^k a_- + ka_+^{k-1} \quad \text{(归纳式)} $$

步骤3：推导n=k+1的情况 #

现在证明n=k+1时等式也成立，先写出此时的对易子：
$$ [a_-,a_+^{k+1}] = a_-a_+^{k+1} - a_+^{k+1}a_- $$
把$a_+^{{k+1}$拆成$a_+}k \cdot a_+$，代入上式：
$$ [a_-,a_+^{k+1}] = a_-a_+^k \cdot a_+ - a_+^{k+1}a_- $$
将归纳式代入第一项：
$$ (a_+^k a_- + ka_+^{k-1}) \cdot a_+ - a_+^{k+1}a_- $$
展开括号后得到：
$$ a_+^k a_-a_+ + ka_+^{k-1}a_+ - a_+^{k+1}a_- $$
这里注意$a_+^{k-1}a_+ = a_+^k$，同时用eq.1的变形$a_-a_+ = a_+a_- +1$替换$a_-a_+$：
$$ a_+^k(a_+a_- + 1) + ka_+^k - a_+^{k+1}a_- $$
继续展开括号：
$$ a_+^{k+1}a_- + a_+^k + ka_+^k - a_+^{k+1}a_- $$
你会发现$a_+^{k+1}a_-$这两项直接抵消，剩下的就是：
$$ a_+^k + ka_+^k = (k+1)a_+^k $$
而等式右边当n=k+1时是$(k+1)a_+^{(k+1)-1} = (k+1)a_+^k$，两边完全相等！

结论 #

由数学归纳法可知，对于所有正整数n，等式$[a_-,a_+^n]=na_+{n-1}$都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matthias