环论零因子问题求证：无零因子理想的rI=Ir=(0)证明

嘿，我来给你梳理下接下来的思路，你已经走对大半啦！

首先把问题再明确下：

题目：设$I\not = (0)$是环$R$中无非零因子的理想。若存在非零元$a\in I$与$r\in R$满足$ra=0$，求证$rI= Ir=(0)$。

你的起点没问题：当$r=0$时结论显然成立；当$r\neq0$时，$ra=0$说明$r$是零因子，接下来要证对任意$x\in I$，$rx=0$（如果是交换环的话，$rx=xr$，证一边就行，我们按一般情况展开）。

关键提示：用好理想的封闭性和$I$的无零因子条件 #

1. 先证$Ir=(0)$：

   • 任取$x\in I$，因为$I$是理想，所以$xr\in I$（理想的右吸收性：子环元素乘环内元素仍在理想里）。
   • 计算$(xr)a$：根据环的结合律，$(xr)a = x(ra)$，而我们已知$ra=0$，所以$x(ra)=x\cdot0=0$，也就是$(xr)a=0$。
   • 现在，$xr\in I$，$a\in I\setminus{0}$，而题目说$I$无非零因子——意思是$I$里任意两个非零元相乘都不为0。所以$(xr)a=0$的话，只能是$xr=0$。
   • 由$x$的任意性，直接得出$Ir=(0)$。

2. 再证$rI=(0)$：

   • 任取$x\in I$，同理，$rx\in I$（理想的左吸收性）。
   • 如果环是交换的，那$a(rx)=(ar)x=(ra)x=0\cdot x=0$，结合$I$的无零因子条件，$a\neq0$就推出$rx=0$。
   • 如果环是非交换的，我们用反证法：假设$rx\neq0$，那么$rx$和$a$都是$I$中的非零元，按$I$无零因子的条件，它们的乘积$(rx)a$应该不为0；但另一方面，$(rx)a=r(xa)$，而$xra=x(ra)=x\cdot0=0$，同时结合$I$的性质，$xa\in I$，若$rx\neq0$则$(rx)a\neq0$，但$r(xa)$却等于0，这就产生了矛盾。因此假设不成立，$rx=0$。
   • 由$x$的任意性，可得$rI=(0)$。

其实核心就是抓住理想的吸收性和**$I$无零因子**这两个条件，把$rx$或$xr$放到$I$的范围内，再和$a$相乘，利用已知的$ra=0$导出结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student